Beweis einer Metrischer Raum

Question

Aufgabe:

Es sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum und X₀ ⊂ X abgeschlossen.

Zeigen Sie: (X₀,d) ist ein vollständiger metrischer Raum.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich es am besten bzw. detailiert beweisen ?

Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

wenn man \((x_k)\subset X_0\) als Cauchy-Folge wählt, dann folgt wegen der Vollständigkeit von \(X\), dass \(x\in X\). In jeder Umgebung von \(x\) liegen dann Elemente aus \(X_0\). Würde \(x\) nicht zu \(X_0\), sonddern zu \(X\backslash X_0\) gehören, dann folgte daraus, dass \(X\backslash X_0\) nicht offen und damit \(X\) nicht abgeschlossen sein kann - damit haben wir einen Widerspruch und \(X_0\) ist vollständig.

Comments

Ja , natürlich. Sehr schlau. Sehr nett von dir. Vielen Dank und einen schönen Abend noch. :)

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Keine Ursache; ebenfalls einen schönen Abend.

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Wie folgt aus der Kompaktheit von \( X_0 \), dass \( (X_0, d) \) ein vollständiger metrischer Raum ist?

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Dies ist jedenfalls hinsichtlich der Aufgabenstellung anschaulicher, als wenn du lediglich die Kompaktheit von \( X_0 \) zeigst, da du hier den eigentlichen Punkt der Vollständigkeit, nämlich dass die Grenzwerte der Folgen in \( X_0 \) auch in \( X_0 \) liegen, zeigst.

Den "Umweg" über die Kompaktheit brauchst du sozusagen gar nicht, wie du auch schon selbst bemerkt hast.

Spätestens um zu zeigen, dass jeder kompakte metrische Raum vollständig ist, betrachtest du die Cauchy-Folgen eines kompakten metrischen Raumes.

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Warum ist X überhaupt kompakt?

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Habe es jetzt editiert, LG