Bogenlänge anhand der Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Bestinme die Bogenlänge \( f(x)=x^{2} \) in Intervall [0,1]

Lösung \( \approx 1,48[L E] \)

Problem/Ansatz:

Ich versuche es mit der Substitution, sobald ich unter der Wurzel auf 1 + 4x^2 komme.

Danach erhalte ich für du= 8x.

Wenn ich weiterrechne komme ich auf ein Ergebnis von ~250.

Wäre jemand so nett und kann mir den Lösungsweg verraten, da ich es nicht lösen kann.

Mfg

Answer 1

Hallo,

L= ∫ √ (1 +4x^2) dx von 0 bis 1

x=sinh(z)/2 

dx/dz= cosh(z)/2

dx= cosh(z)/2 dz

->in das Integral einsetzen

=1/2 ∫ cosh^2(z) dz

allgemein: cosh^2(z) -sinh^2(z)=1

=1/4 ∫cosh(2z) +1) dz

=1/4 (sinh(z) *cosh(z) +z) +C

Resubstitution:

=1/4 (arcsinh(2x) +2x √ 1 +4x^2) +C

die grenzen eingesetzt, dann das angegebene Ergebnis