Welche Besonderheit haben die roten Rauten?

Question

Gegeben ist ein 20-Eck, das vollständig mit Rauten der halben Seitenläge des 20-Ecks ausgefüllt ist (Abbildung unten). Welche Besonderheit haben die roten Rauten?

Answer 1

Die nach außen zeigenden Winkel der Rauten haben von innen nach außen n*18°. Dabei gilt n=1 für die inneren Rauten, n=2 für die nächsten, usw.

Die roten Rauten sind die fünften von innen.

5*18°=90°

Es sind Quadrate.

Comments

Die nach außen zeigenden Winkel der Rauten haben von innen nach außen n·18°.

Diese Eigenschaft sollte man natürlich nicht nur erwähnen, sondern auch nachweisen.

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Ein 20- Eck hat 18*180° = 3240°

3240 °/20 = 162°  18° 1.Raute

von außen nach innen

180° - 2* 18° = 144° 36° 2.Raute

360°- 2*36 °-162° =

180° - 3*18° = 126°  54° 3.Raute

360° - 2*54° - 126°=

180° - 4*18° = 108° 72° 4. Raute

360° - 2* 72° - 108°=

180° - 5* 18° = 90° 90°

5. Raute gleich Quadrat

Es ist wirklich ein schönes Bild.

Mich wundert allerdings, dass Roland diesmal nicht gefragt hat, wie das Verhältniss der Fläche der roten Rauten zur Gesamtfläche ist.

Answer 2

Ich rate mal: die roten Rauten sind Quadrate.

Comments

Ich schließe mich dieser Vermutung an.

Um sie zu überprüfen, sollte man sich wohl mit den Winkeln der Rauten in jedem der aufeinanderfolgenden Rauten-Kränze beschäftigen.

Schöne Figur übrigens - sie erinnert an Mosaike aus dem arabisch-islamischen Raum. Stammt sie etwa auch von da her ?

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Danke für die Anekennung der Schönheit der Figur. Ich habe sie nicht aus den islamische Raum, sondern so konstriert: Die Mittelpunkte von 20 Kreisen, die sich in einem Punkt schneiden liegen äquidistant auf einem Kreis. Die Schittpunkte aller Keise werden in Vieregruppen zu Rauten verbunden, sodass ein punktsymmetrisches Ornament entsteht.

Answer 3

Schade, die Aufgabe hätte ich auch stellen können.

Deshalb eine Variante: Bei welchen Vielecken n>4 der Rolandschen Bauart kommen Quadrate vor?

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https://www.geogebra.org/m/fnpzejfj

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Comments

@wächter: Deine Aufgabe finde ich besser als meine. Nur - dann hätte ich meine Bauart nachvollziehbar beschreiben müssen.

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Du hattest die Idee, das in eine Aufgabe zu packen, Danke dafür.

Aber zentralsymmetrische Rautenparketierung von regelmäßigen Vielecken ist wohl kein anschauliches Konstruktionsprinzip. Vielleicht wenn man ein paar Fälle n=5,6,7 dazu gibt?