Betrachte die Funktion $$f(x)=\sqrt[n]{x}$$ im Intervall $$\left[a, a+1\right]$$
Da f stetig ist gibt es ein $$ξ\in \left(a, a+1\right)$$ mit
$$f'(ξ)=\frac{f(a+1)-f(a)}{a+1-1}=f(a+1)-f(a)$$.
Mit $$f'(x)=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}$$ ist dann
$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a+1}-\sqrt[n]{a})^{2} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} (f'(ξ))^2= \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n}\cdot ξ^{\frac {1}{n}-1})^2=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cdot (\frac{\sqrt[n]{ξ}}{ξ})^2 $$
Mit einer Fallunterscheidung ξ>1 und ξ<1 kannst du mit dem Majorantenkriterium zeihen, dass diese Reihe konvergiert.
