ich habe eine Frage zur Monotonie und komme da nicht wirklich weiter. Es ist mehr eine Verständnisfrage, weil ich kein passendes Video dazu gefunden habe.
Hier erstmal die Funktion:
f:(0 , ∞) -> ℝ , f(x) = x2 · ln(n)
Ich möchte nun schauen:
- Welche Extremstellen diese Funktion hat
- Wo sie monoton fällt/steigt
- Wo sie Konvex/Konkarv ist
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Ich habe begonnen mit der 1. Ableitung das ist hier:
f'(x) = 2x*ln(x)+x2 · (1/x)
= 2x*ln(x)+x
= x * (2ln(x)+1)
So und nun habe ich das ganze so umgestellt, dass ich die Extrema bekomme mit
⇔ 2ln(x) + 1 ≥(≤) 0
⇔ 2ln(x) ≥(≤) -1
⇔ ln(x) ≥(≤) -1/2
⇔ x ≥(≤) e-(1/2)
Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich darauf komme zu sagen, dass
f monoton wachsend auf [e-1/2 , ∞) und monoton fallen auf (0, e-1/2) ist
Außerdem sit e-1/2 ein globales Min.
^ (Den Teil hier habe ich so in meinen alten Unterlagen geschrieben, weiß leider nicht mehr wie ich drauf gekommen bin)
Nun mache ich die 2. Ableitung und erhalte => 2ln(x)+3
⇔ ln(x) ≥(≤) -3/2
⇔ x ≥(≤) e-3/2
Und hier habe ich geschrieben, f ist konvex auf [e-3/2, ∞) und konkarv auf (0, e-3/2]
Die rot makierten Stellen, sind die wo ich nicht verstehe, wie ich drauf gekommen bin. Ich habe mir schon Videos angeschaut mit, dass ich das in die 2. Ableitung einsetze aber sowas kann man ja schlecht ohne Taschenrechner machen und kostet Zeit. Da ich das zuletzt vor einem Jahr gemacht habe und schon etwas her ist erinnere ich mich auch nicht mehr wirklich dran woran ich es fest gemacht habe.
& ))
