Innenwinkel Dreieck Beweis

Question

Muss eine Hausarbeit machen und weiß nicht wie ich folgendes beweisen soll.


Zeigen sie, dass bei jedem Dreieck für die Innenwinkel α,β und γ die Gleichung


cos(α) * cos(β) + cos(γ) = -(1/4) * [ 1+cos(2*α) + cos (2*β) + cos (2γ) ]


gilt.

Ich bin soweit, dass ich für mehrer Beispiele (z. Bsp alle 60 Crad oder einen 90 Crad) gezeigt habe, dass es stimmt. Nur das ist ja leider kein Allgemeiner Beweis.

Wer kann mir helfen?

Answer 1

Nun, deine Formel stimmt nicht (kam mir schon auf den ersten Blick merkwürdig vor).

Richtig ist:

cos(α) * cos(β) mal cos(γ) = -(1/4) * [ 1+cos(2*α) + cos (2*β) + cos (2γ) ]

 

Zeigen kann man das, indem man zunächst auf der linken Seite der Gleichung die Kosinusfuktionen durch ihre Längenverhältnisse ersetzt. Dazu nimmt man die drei Kosinussätze, die ja in jedem beliebigen Dreieck gelten,  löst sie nach cos(α), cos(β) bzw. cos(γ) auf:

a ² = b ² + c ² - 2 * b * c * cos ( α )

<=> cos ( α ) = ( a ² - b ² - c ² ) / ( - 2 * b * c ) = ( b ² + c ² - a ² ) / ( 2 * b * c )

b ² = a ² + c ² - 2 * a * c * cos( β )

<=>cos ( β ) = ( b ² - a ² - c ² ) / ( - 2 * a * c ) = ( a ² + c ² - b ² ) / ( 2 * a * c )

c ² = a ² + b ² - 2 * a * b * cos( γ )

<=>cos ( γ ) = ( c ² - a ² - b ² ) / ( - 2 * a * b ) = ( a ² + b ² - c ² ) / ( 2 * a * c )

und bildet dann das Produkt:

cos(α) * cos(β) * cos(γ)

= [ ( b ² + c ² - a ² ) / ( 2 * b * c ) ] * [ ( a ² + c ² - b ² ) / ( 2 * a * c ) ] * [ ( a ² + b ² - c ² ) / ( 2 * a * c ) ]

bildet (ziemliche Rechnerei).

Damit ist die linke Seite der Gleichung berechnet.

 

Für die rechte Seite nimmt man die Doppelwinkelfunktion des cos, die da lautet:

cos ( 2 x ) = 2 * cos ² ( x ) - 1

und ersetzt damit die entsprechenden Terme auf der rechten Seite der Gleichung. Man erhält: 

- ( 1 / 4) * [ 1 + cos ( 2 * α ) + cos ( 2 * β ) + cos ( 2 γ ) ]

= - ( 1 / 4) * [ 1 + 2 * cos ² ( α ) - 1 + 2 * cos ² ( β ) - 1 + 2 * cos ² ( γ ) - 1 ]

= - ( 1 / 4) * [  - 2 + 2 * ( cos ² ( α ) + cos ² ( β ) + cos ² ( γ ) ) ]

= ( 1 / 2 ) [  1 -  ( cos ² ( α ) + cos ² ( β ) + cos ² ( γ ) ) ]

Setzt man hier nun wieder die entsprechend aufgelösten Kosinussätze ein (siehe oben) und multipliziert man aus (wieder viel Rechnerei), dann erhält man den selben Term wie auf der oben ausgerechneten linken Seite der Gleichung.

Damit ist gezeigt, dass die in der Aufgabenstellung angegebene Gleichung unter den dort genannten Voraussetzungen gilt.

Comments

Danke für deine ausführliche Erklärung aber ein paar Dinge sind mir noch nicht ganz klar.

Sorry des am Anfang war n Tippfehler.

Hast du auch einen beim Cosinussatz vom Winkel Gamma?

<=>cos ( γ ) = ( c² - a² - b² ) / ( - 2 * a * b ) = ( a² + b² - c² ) / ( 2 * a * c )

müsste das nicht b sein?

Das beim Doppelwinkel hab ich noch nicht ganz verstanden.

- ( 1 / 4) * [ 1 + cos ( 2 * α ) + cos ( 2 * β ) + cos ( 2 γ ) ]

= - ( 1 / 4) * [ 1 + 2 * cos² ( α ) - 1 + 2 * cos² ( β ) - 1 + 2 * cos² ( γ ) - 1 ]

= - ( 1 / 4) * [  - 2 + 2 * ( cos ²( α ) + cos² ( β ) + cos² ( γ ) ) ]

= ( 1 / 2 ) [  1 -  ( cos² ( α ) + cos² ( β ) + cos² ( γ ) ) ]

wieso kommst du auf die (1/2)? Hast du die mit -2 multipliziert? und woher kommt dann die 1? und wo sind die 2*cos etc hin? und welches Vorzeichen kommt nach (1/2)? Mal?

wie sieht das dann aus wenn ich den Cosinussatz einsetze?

(1/2) [1-  [ (b² + c² - a²)/(2*b*c) ] ² + ... und so weiter