Hallo,
eine lineare Abbldung, die \(\mathbb R^3\) auf \(\mathbb R^4\) abbildet, hat die Form$$M_{4\times 3} \cdot v = u, \quad v \in \mathbb R^3, \space u \in \mathbb R^4$$WIr suchen also eine 4x3-Matrix, bzw. sollen belegen, dass es sie gibt.
Mein Ansatz ist es, die R³ Vektoren in eine Matrix A zu schreiben und die R4 in Matrix B ...
Guter Ansatz: $$A = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 2& 1& 2\end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix}1& -1& 0\\ 1& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 2& 1& 3\end{pmatrix}$$
... und eine Matrix finden C finden für die gilt A * C = B.
nicht ganz. So passt es mit der Anzahl der Zeilen und Spalten nicht. \(C\) muss eine 4x3-Matrix sein. Folglich lautet die Abbildung:$$C \cdot A = B$$und um die Gleichung nach \(C\) aufzulösen, reicht es, sie von rechts mit \(A^{-1}\) zu multiplizieren.
Und dies ist auch das Kriterium für die Existenz von \(C\): \(A\) muss invertierbar sein; z.B. muss \(\det(A) \ne 0\) sein bzw. die drei Vektoren müssen linear unabhängig sein - was dasselbe ist. Hier ist \(\det(A)=2\) und $$A^{-1} = \frac 12 \begin{pmatrix}0& -1& 1\\ 4& 0& -2\\ -2& 1& 1\end{pmatrix} \\ C = \frac 12 \begin{pmatrix}-4& -1& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ -2& 1& 3\end{pmatrix}$$
