Sei \( K \) ein Körper.
(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom \( P_{A} \) der Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{ccccccc} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & -a_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 & -a_{3} \\ \vdots & \vdots & & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & -a_{n-1} \end{array}\right) \in K^{n \times n}, \quad \text { mit } n \geq 1 $$
Hinweis: Entwickeln Sie die Determinante nach der letzten Spalte.
(b) Zeigen Sie, dass jedes normierte Polynom in \( K[X] \) vom Grad \( n \geq 1 \) das charakteristische Polynom einer Matrix \( A \in K^{n \times n} \) ist.
