Ist diese Bedingung erfüllt?

Question

Aufgabe: Eine Stromleitung soll über einem Hang gebaut werden. Ihr Verlauf wird durch f(x)= 0,006x^2-0,125 x +20 beschrieben, das Hangprofil mit g(x)= -0,003x^2 + 0,6x; 0<=x<=100, Meterwerte. Der vertikale Abstand zwischen Leitung und Hang soll mind 5 m betragen. Ist diese Bedingung erfüllt?

Problem/Ansatz:

Abstand d ist Minimum, also oberer y-Wert minus unterer y-Wert? Wie ermittle ich den x-Wert zwischen 0 und 100 und das relative Minimum für d? Soll mit den Randwerten verglichen werden?

Answer 1

Aloha :)

Gefragt ist nach dem Minimum der Differenz beider Funktionen:$$d(x):=f(x)-g(x)=0,009x^2-0,725x+20\quad;\quad x\in[0;100]$$Den minimalen Abstand finden wir als Extremum von \(d(x)\):$$0\stackrel{!}{=}d'(x)=0,018x-0,725\quad\Rightarrow\quad x=\frac{0,725}{0,018}=\frac{725}{18}=40,2\overline7$$Der minimale Abstand beträgt daher:$$d\left(\frac{725}{18}\right)\approx5,40\,\mathrm m>5\,\mathrm m\quad\checkmark$$Konkret ist$$f(40,2\overline7)\approx24,70\quad;\quad g(40,2\overline 7)\approx19,30$$

~plot~ 0,006x^2-0,125x+20 ; -0,003x^2+0,6x ; {40,28|24,70} ; {40,28|24,70-5,40} ; [[0|100|0|60]] ~plot~

Answer 2

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion

        d(x) = f(x) - g(x).

Der minimale Abstand ist d(0) oder d(100) oder die y-Koordinate des Scheitelpunktes (falls dieser zwischen 0 und 100 liegt).