Lineare Optimierung: Tägliche Produktion von Lang- und Kurzarmhemden soll optimal eingestellt werden.

Question

Beispiel:

Eine Kleiderfabrik stellt Langarm- und Kurzarmhemden her. Täglich können 70 Langarm-, aber 100 Kurzarmhemden genäht werden, zusammen jedoch höchstens 140 Stück. Die Herstellungskosten sind € 7,- für ein Langarmhemd und € 5,- für ein Kurzarmhemd. Der Verkaufspreis ist € 17,- für ein Langarmhemd und € 13,- für ein Kurzarmhemd. Wie sollte gefertigt werden, damit der Gewinn maximal ist?
 

Ich schaffe diese Aufgabe nicht bis zum Schluss, es geht um Minimum und Maximum Aufgaben (Funktionen)

Bitte um Antwort, Lg

Answer 1

Wir zeichnen uns mal ein Koordinatensystem und zeichnen uns die beiden Maximalen Produktionsmengen ein. Also max. 70 Langarmhemden wobei dann noch 70 Kurzarmhemden produziert werden können und einmal 100 Kurzarmhemden, wobei dann noch 40 Langarmhemden produziert worden sind.

Diese beiden Punkte verbinde ich mit einer Geraden (die hier rot ist). Diese Linie kennzeichnet also unsere max. Produktion.

Jetzt wissen wir das wir am Langarmhemd einen Deckungsbeitrag von 10 Euro haben und am Kürzarmhemd einen Deckungsbeitrag von 8 Euro. Wenn ich 80 Langarmhemden verkaufe habe ich also genau so viel Deckungsbeitrag als wenn ich 100 Kurzarmhemden verkaufe. Diese Geraden wo ich den gleichen Deckungsbeitrag habe zeichne ich auch in das Koordinatensystem ein. Das ist hier grün. 

Nun verschiebe ich die grüne Gerade so nach rechts, dass sie durch den Punkt A geht. Man sieht das man mit allen anderen Produktionen nicht an den Deckungsbeitrag herankommt, den wir im Punkt A haben. Daher ist A die günstigste Produktionsmenge. D.h. es sollten jeweils 70 Stück Langarm und Kurzarmhemden produziert werden.

Answer 2

Eine Kleiderfabrik stellt Langarm- und Kurzarmhemden her. Täglich können 70 Langarm-, aber 100 Kurzarmhemden genäht werden, zusammen jedoch höchstens 140 Stück. Die Herstellungskosten sind € 7,- für ein Langarmhemd und € 5,- für ein Kurzarmhemd. Der Verkaufspreis ist € 17,- für ein Langarmhemd und € 13,- für ein Kurzarmhemd. Wie sollte gefertigt werden, damit der Gewinn maximal ist?

Ich nehme hier mal an, dass alle Hemden, die produziert werden, auch verkauft werden.

Annahme täglich x Langarm- und y Kurzarmhemden.

Täglich können 70 Langarm-, aber 100 Kurzarmhemden genäht werden, zusammen jedoch höchstens 140 Stück:
In Ungleichungen:

1.      0≤x≤70, (rot)

2.      0≤y≤100, (blau)

3.     0≤ x+y≤140, (grün)

Das ergibt einen Bereich im Koordinatensystem, in dem die Produktion liegen kann. Interessant für die lineare Optimierung sind da meist die Ecken.

Die Herstellungskosten sind € 7,- für ein Langarmhemd und € 5,- für ein Kurzarmhemd. Der Verkaufspreis ist € 17,- für ein Langarmhemd und € 13,- für ein Kurzarmhemd. 
Gewinnfunktion G(x,y) = x(17-7) +y(13-5) = 10 x + 8 y

Aus der Gewinnfunktion kann man im Koordinatensystem Linien mit gleichem Gewinn einzeichnen.

Bsp. Gewinn 800 Euro. 10x + 8y = 800        ----> y = 100 - 10/8 x     so einzeichnen oder ablesen, dass die durch (80|0) und (0/100) geht und verbinden.(violett)

 

Bsp. Gewinn 400 Euro. 10x + 8y = 400        ----> y = 50 - 10/8 x     so einzeichnen oder ablesen, dass die durch (40|0) und (0/50) geht und verbinden.(orange)

Hier Graphen der Gewinnfunktion: Parallele Geraden. Je weiter du die hier von (0/0) wegschiebst, desto grösser wird hier der Gewinn. Das Maximum liegt dann in einem Eckpunkt des  Produktionsbereichsvierecks.

Parallelverschiebung führt hier auf den optimalen Punkt A(70/70). Es werden je 70 Langarm- und 70 Kurzarmhemden produziert. Der tägliche Gewinn ist dann, immer vorausgesetzt, dass alles verkauft wird. G_max = 10*70 + 8*70 = 700 + 560 = 1260 Euro.

Kontrolle: Optimale Gerade: y = 1260/8 - 10/8 x (türkis) verläuft durch einen Eckpunkt des Produktionsbereichs und hat mit diesem keinen weiteren Punkt gemeinsam.