Für welche reelle Werte von a existieren entartete Eigenwerte?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix M:

       3 0 0
M = 0 1 a
       0 2 2a

a) Für welche Werte von a existieren entartete Eigenwerte?

b) Prüfen Sie, ob für diese Werte von a M diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Eigenwerte mit der Regel von Sarrus und dem charakteristischen Polynom zu berechnen. Ich bekomme dann:

λ(2λ²+4λ-3-6a) = 0

λ₁ ist also = 0

Ich habe dann versucht mit der pq-Formel die anderen zwei Eigenwerte zu berechnen:

-1 +/- \( \sqrt{1+(1,5+3a)} \)

Jetzt bin ich nicht sicher, wie ich weiter vorgehen soll. Kann es sein, dass a = -0,5 gesucht ist? War der Ansatz überhaupt richtig?

Für die Prüfung auf Diagonalisierbarkeit würde ich dann die Eigenwerte aus a) und deren Eigenvektoren benötigen, oder? Wie zeige ich damit, dass die Matrix diagonalisierbar ist?

Comments

Wann definierst du einen Eigenwert als entartet?

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Eigenwerte sind entartet, wenn die charakteristische Gleichung eine vielfache Nullstelle hat, sodass z.B. λ₁ = λ₂ ist. Stimmt?

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Das frage ich dich, das musst du definiert haben. Wikipedia definiert:

Falls die Dimension des Eigenraums größer als 1 ist, wenn es also mehr als einen linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda\)  gibt, so nennt man den zum Eigenraum zugehörigen Eigenwert entartet.

Also kann ein Eigenraum bzgl. eines Eigenwerts entartet sein. Meinst du das?

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In der Unterlagen habe ich stehen:

"Nullstellenform der charakteristischen Gleichung:

(α-α₁)^K1*(α-α₂)^K2*...*(α-α_i)^Ki*...*(α-α_r)^Kr = 0

Es existieren r verschiedene Nullstellen mit algebraischen Multiplizitäten K_i. Wenn K_i>1, dann heißt α_i entartet"

(α ist der Eigenwert)

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Achso, danke. :)

Answer 1

$$\chi (\lambda)=\det(M-\lambda E)=\det \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & a \\ 0 & 2 & 2a-\lambda \end{pmatrix}=(3-\lambda)\begin{pmatrix} 1-\lambda & a \\ 2 & 2a-\lambda \end{pmatrix}=(3-\lambda)((1-\lambda)(2a-\lambda)-2a)=\lambda(3-\lambda)(\lambda-2a-1)=0$$ Damit wir einen entarteten Eigenwert haben, muss \(-2a-1\) entweder \(=0\) oder \(=-3\) sein.

Aus \(-2a-1=0\) folgt \(a=-0.5\) und aus \(-2a-1=-3\) folgt \(a=1\).

Um zu überprüfen, ob \(M\) mit den oben genannten \(a\)-Werten diagonalisierbar ist, musst du prüfen, ob die algebraische Vielfachheit mit der geometrischen Vielfachheit übereinstimmt.