Menge offen, beschränkt oder abgeschlossen

Question

$$ M=\left\{x, y,z\right\}|x^2+y^2\leq π, 0 \leq z\leq x, (x,y,z)\neq (0,0,0) $$

Kann mir jemand sagen, ob die Menge beschränkt, offen oder abgeschlossen ist.

Answer 1

offen jedenfalls nicht; denn z.B. der Punkt ( √(π/2) ; √(π/2) ; 0 )

gehört dazu, aber in jeder eps-Umgebung um diesen Punkt, gibt

es Punkte mit negativer z-Koordinate, die gehören also nicht dazu.

abgeschlossen auch nicht, denn das Komplement ist auch

nicht offen, denn (0;0;0) gehört dazu aber für jedes kleine eps

( eps <  √π  )  gehört ( eps , 0 , 0 ) nicht zum Komplement.

Beschränkt ist es wohl; denn für jedes (x,y,z) ∈ M gilt

|| (x,y,z) || = √ ( x^2 + y^2 + z^2 ) ≤ √ ( π + z^2 )

und wegen z^2≤x ^2  ≤ π  also

|| (x,y,z) || ≤ √ ( π + π )  = √ ( 2π ) .

Also ist √ ( 2π ) eine obere Schranke für die Beträge

der Elemente von M.

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vielen Dank für die ausführliche Antwort

Answer 2

Kann mir jemand sagen, ob die Menge beschränkt, offen oder abgeschlossen ist.

Kann vielleicht jemand, möchte ICH aber nicht.
Ich beschreibe dir aber gern die zu betrachtende Punktmenge.
M={\({x, y,z}|x^2+y^2\leq π\) } beschreibt zunächst einen nach oben und unten unbegrenzten Zylinder (Innenraum und Mantel) um die z-Achse herum mit dem Radius \( \sqrt{\pi} \) .
Die übrigen Bedingungen beschränken diesen Raum
- auf die xy-Ebene und den Raum darüber
- auf die Ebene z=x und den Raum darunter
- und der bis jetzt noch zugehörige Punkt (0,0,0) wird ausgeschlossen.

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Danke. Die Anschauung hat mir wirklich geholfen. :)