Flächeninhalt Integralrechnung

Question

Aufgabe:

1. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt

a) f(x) = \( x^{4} \) - 10\( x^{2} \) + 9

b) g(x) = 1/2 x^5 - 2\( x^{3} \)

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den die Graphen der Funktionen f und g einschließen

a) f(x) = x^4 - x^3     und   g(x) = 1 - x

b) f(x) = \( \frac{4}{x^2} \) - 5   und g(x) = -x^2          mit D = ℝ

Kann mir jemand bei diesen beiden Aufgaben helfen? Ich blick nicht durch.

Vielen Dank

Answer 1

f(x) = x^4 - 10x^2 + 9

Erst mal die Nullstellen  f(x)=0

Die liegen bei -3 , -1 und 1 und 3.

Wegen der Symmetrie brauchst du es nur von 0 bis 3

zu betrachten und dann verdoppeln.

Allerdings liegt ja zwischen 0 und 3 noch eine

Nullstelle, also musst du 2 Integrale berechnen

und die Beträge davon addieren:

Von 0 bis 1 gibt es 88/15

und von 1 bis 3 sind es -304/15 , der

Betrag also 304/15 und somit die Gesamtfläche

im positiven x-Bereich  88/15+304/15 = 392/15

und das mal 2 gibt für die gesuchte Flächenmaßzahl 784/15.

Bei der 2. Funktion ist es symmetrisch zum

Ursprung und die Nullstellen sind -2, 0 und 2.

Integriere also von 0 bis 2 und verdoppele den Betrag des

Ergebnisses.

Comments

Ich habe Probleme mit dem integrieren, leider...

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Wo hakt es denn ?

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Ich habe Probleme mit der Stammfunktion und dem “aufleiten”

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Hallo,

$$f(x)=x^4-10x^2+9$$

nimm dir einen Summanden nach dem anderen vor:

zuerst die nächsthöhere Potenz wählen, von x⁴ ist das x⁵. Dann die Zahl vor dem x⁴ durch 5 teilen ⇒ \( \frac{1}{5} x^5\)

\(-10x^2\) - die nächsthöhere Potenz ist 3, dadurch wird auch geteilt ⇒ \(- \frac{10}{3} x^3\)

an die 9 wird x angehängt.

Die Stammfunktion lautet also

$$F(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{10}{3}x^3+9x$$

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Was ist die Stammfunktion von b) Und was mache ich bei 2)?

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Wenn du eine Stammfunktion wissen möchtest dann kann dir z.B.

https://www.integralrechner.de/

weiterhelfen.

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Was ist die nächsthöhere Potenz von \(x^5\) bzw. von \(x^3\)?

\( \frac{1}{2} :6=?, -2:4=?\)

zu 2)

Die blaue Fläche muss berechnet werden

Du berechnest zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Dann bildest du die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x), davon die Stammfunktion und berechnest das Integral zwischen den beiden Schnittpunkten.

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Dann bildest du die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x)

Kleine Anmerkung. Wenn man als erstes die Differenzfunktion bildet, dann sind die Schnittstellen die Nullstellen der Differenzfunktion. Man spart sich dann das zweimalige Zusammenfassen der Terme.

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Wie bildet man die Differenzfunktion? Ich habe die Schnittpunkte zu a) S(-1 | 2) & (1 | 0)

b) S (-2 | -4)

  S (-1 | -1)

  S (1 | -1)

  S (2 | -4)

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Danke, das merke ich mir.

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Wie bildet man die Differenzfunktion?

Man Subtrahiert die Funktionsterme voneinander

d(x) = (x^4 - x^3) - (1 - x)
d(x) = x^4 - x^3 - 1 + x
d(x) = x^4 - x^3 + x - 1

Nutze auch dazu eventuell Tools wie Wolframalpha um eine Kontroll-Lösung zu erhalten.

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Ist die Differenzgleichung h(x) = x^4 - x^3 - 1 - x? Und wenn ja, wie bilde ich die Stammfunktion nun? Ist die Stammfunktion: H(x) = 1/5x^5 - 1/3x^4 - 1x - 1/2x^2?

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Ist die Differenzgleichung

Ich habe oben die Differenzfunktion doch schon zur Kontrolle angegeben.

Und um deine Stammfunktion zu kontrollieren kannst du ein Hilfsmittel wie Wolframalpha verwenden.

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Oh! Dankeschön!

Answer 2

Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt

Hast du schon mal versucht, die Schnittpunkte mit der x-Achse zu berechnen?

Melde dich wieder, wenn du sie hast.

Flächeninhalt, den die Graphen der Funktionen f und g einschließen

Hast du inzwischen berechnet, an welchen Stellen sich die beiden Funktionsgraphen schneiden?

Comments

Wie genau mache ich das?

Answer 3

Hier nur meine Kontrollösungen.

Solange ich nicht weiß wo konkret die Probleme sind kann ich schlecht gezielt helfen.

1.a)

A = 2·ABS(∫(x^4 - 10·x^2 + 9, x, 0, 1)) + 2·ABS(∫(x^4 - 10·x^2 + 9, x, 1, 3)) = 784/15 = 52.27

1.b)

A = 2·ABS(∫(1/2·x^5 - 2·x^3, x, 0, 2)) = 16/3 = 5.333

2.a)

A = ABS(∫((x^4 - x^3) - (1 - x), x, -1, 1)) = 8/5 = 1.6

2.b)

A = 2·ABS(∫((4/x^2 - 5) - (- x^2), x, 1, 2)) = 4/3 = 1.333

Comments

Dankeschön!

Ich verstehe jedoch nicht was ich bei 2 machen soll. Soll ich bei 2 genauso wie bei 1 vorgehen? Also, erstmal Nullstellen berechnen und dann integrieren?

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Bei zwei würde ich zunächst die Differenzfunktion bilden

d(x) = f(x) - g(x)

und mit der Differenzfunktion gehst du wie bei 1. vor.

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Ich habe bei a) -1/2 raus..

Das ist meine Stammfunktion: 1/5x^5 - 1/4x^4 - 1x + 1/2x^2

Und eingesetzt habe ich einmal den Schnittpunkt x = - 1 und und x = 1. Also, integral von -1 bis 1.

Was habe ich falsch gemacht?

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Ein typischer Fehler ist die -1 beim Einsetzen nicht zu klammern. Was du genau verkehrt gemacht hast kann man mangels fehlender Lösung nicht erkennen.

F(1) = 1/5·1^5 - 1/4·1^4 + 1/2·1^2 - 1 = -11/20

F(-1) = 1/5·(-1)^5 - 1/4·(-1)^4 + 1/2·(-1)^2 - (-1) = 21/20

F(1) - F(-1) = -11/20 - 21/20 = -32/20 = -1.6

Davon muss man jetzt noch den Betrag nehmen. Also im Grunde genommen nur das negative Vorzeichen ignorieren.

Die Fläche Betragt 1.6 FE.

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Die Stammfunktion ist richtig, also hast du dich irgendwo verrechnet:

$$|\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-1+\frac{1}{2}-(-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}+1+\frac{1}{2})|\\ =|\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}|\\ =|\frac{2}{5}-2|=|-1,6|=1,6$$

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Zu 2b): Was ist die Stammfunktion und berechne ich den Integral von -1 bis 1 nur?

Meine Differenzfunktion zu b): h(x) = 4x^(-2) - 5 + x^2

Wäre die Stammfunktion dann: H(x) = -1/4x^(-1) - 1/5x + 1/3x^3

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Die Differenzfunktion ist

$$h(x)=4x^{-2}-5-x^2$$

Deren Nullstellen sind bei -2, -1, 1 und 2

Die Stammfunktion lautet

$$H(x)=-4x^{-1}-5x-\frac{1}{3}x^3$$

Es reicht, wenn du zum Beispiel das Integral von 1 bis 2 berechnest und das verdoppelst, s. Skizze

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Dankeschön! Mein Ergebnis ist A = - 48. Ist das so richtig? -44/3 - 28/3 = -24 • 2 = -48

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Ich geb es auf. Was meinst du wozu ich oben Kontroll-Lösungen hingeschrieben habe.

Wenn du wenigststens eine Komplette Rechnung hingeschribieben hättest, hätte man eventuell noch etwas korrigieren können aber so? Ich geb es auf.