Nunja, das ist etwas schwierig, wenn man die Grundbegriffe nicht kennt. Ich zeige Dir mal, wie man da eigentlich rangeht:
Homogene Lösung suchen:
x'+5x = 0
Charakterisitisches Polynom: X+5 = 0 -> X = -5,
also: x = c*e^{-5t}
Rechte Seite Ansatz: x = at+b und damit x' = a
Einsetzen:
a + 5(at+b) = 10t
a + 5at + 5b = 10t
Koeffizientenvergleich:
a+5b = 0
5a = 10
--> a = 2 und b = -2/5
Es ist also die Gesamtlösung: x = xhomogen + xpartikulär = c*e^{-5t} + 2t-2/5
Grüße