Berechne das Volumen der gelochten Kugel und kommentiere das Ergebnis.

Question

Aufgabe:

Durch eine Kugel mit gegebenem Radius \( r \) wird ein zylindrisches Loch so gebohrt, dass die Zylinderachse durch den Kugelmittelpunkt verläuft und die Länge des Lochs", d.h. die Zylinderhöhe, den vorgegebenen Wert \( 2 \mathrm{s} \) ( \( <2 \mathrm{r} \) ) aufweist. Berechne das Volumen der gelochten Kugel und kommentiere das Ergebnis.

Answer 1

Elementargeometrisch: Der Radius der Kugel dei R, der Radius der Bohrung sei r. Die Höhe einer Kugelkappe (Kugelabschnitt) sei x: Dann wird x aus (R-x)² =R²-r² bestimmt.

V_gel,Kugel=V_Kugel - V_Zylinder - 2V_Kugelkappe.

Answer 2

Mit welchen Mitteln soll das gelöst werden?

Nur durch Nachschlagen von Formeln? Oder soll dem Lehrer eventuell die schöne Benutzung von Rotationsintegralen gezeigt werden?

Bevor man jetzt die Formel z.B. für eine Kugelkappe nachschlägt könnte man auch gleich die Formel für den Kugelring nachschlagen. Beim Nachschlagen erkennst du auch wie du die gefundene Formel geschickt Interpretieren kannst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelring

Die Herleitung über ein Rotationsintegral sollte recht einfach sein, weil sich die Wurzeln und die Quadrate bei Kugeln und Zylindern sehr schön aufheben.