Darstellungsmatrix erstellen mit Einheitsvektor

Question

Aufgabe:

Wenn ich zB eine Darstellungmatrix folgender lin. Abbildung berechnen möchte:

\( a) f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)
\( \vec{x} \mapsto f(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ x-y\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich muss hier doch die Einheitsvektoren von R^2 in f(x) einsetzen:

f(e^1)(fe^2) -> [1/0/1], [0,1,-1]

stimmt das? Dann wäre ja mein Dim(v) = 2 und dim(W) = 3

Answer 1

Es gilt \(\text{Hom}(K^n,K^m)\cong K^{m\times n}\), damit ist die Darstellungsmatrix eine \((3\times 2\))-Matrix. Es gilt dann \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1\\1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\\x-y \end{pmatrix}\). Dafür brauchst du bei solchen Beispielen nicht einmal die Einheitsvektoren einsetzen, das sieht man eigentlich schon so. Was meinst du mit \(\dim V=2\) und \(\dim W=3\)?