Eigenvektor bestimmen-Eigenwerte gegeben

Question

Aufgabe:

Eigenvektoren von \( \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) bestimmen :

Die Eigenwerte habe ich schon berechnet : λ1=1, λ2=2

Bei der Berechnung des Eigenvektors für λ1=1 habe ich folgendes Problem :

Nach Einsetzen des Eigenwerts bekomme ich folgendes Gleichungssystem :

0x1+tx2=0

0x1+1x2=0

x2 wäre ja demnach 0, was jedoch laut der Lösung nicht stimmt.

Eigenvektoren nach der Musterlösung :

(1, 0) für den ersten Eigenwert

(0 , (1-t)) für den zweiten Eigenwert

Ich bitte um Hilfe

Comments

Was sagt denn die Lösung?

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(1, 0) für den ersten Eigenwert

(0 , (1-t)) für den zweiten Eigenwert

Answer 1

Aloha :)

Die Summe der Eigenwerte muss \(=3\) sein (Spur der Matrix) und das Produkt der Eigenwerte muss \(=2\) sein (Determinante der Matrix). Daher stimmen deine Eigenwerte:$$\lambda_1=1\quad;\quad\lambda_2=2$$Zur Bestimmung der Eigenvektoren müssen wir folgnede Gleichung lösen:$$\begin{pmatrix}1-\lambda & t \\ 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}\cdot\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{0}$$

Für \(\lambda_1=1\) erhalten wir:$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Operation}\\\hline1-\lambda & t & 0 & \lambda=1\text{ einsetzen} \\ 0 & 2-\lambda & 0& \lambda=1\text{ einsetzen}\end{array}$$$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = \\\hline0 & t & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}$$Das heißt \(tx_2=0\;\land\;x_2=0\). Selbst für \(t=0\) muss also \(x_2=0\) gelten. An \(x_1\) sind keine Bedingungen gestellt, daher kann \(x_1\) beliebig gewählt werden. Wir haben den ersten Eigenvektor gefunden:$$\vec v_1=\mathbb R\cdot\binom{1}{0}$$

Für \(\lambda_2=2\) erhalten wir:$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Operation}\\\hline1-\lambda & t & 0 & \lambda=2\text{ einsetzen} \\ 0 & 2-\lambda & 0& \lambda=2\text{ einsetzen}\end{array}$$$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & =\\\hline-1 & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}$$Das heißt \(-x_1+tx_2=0\) bzw. \(x_1=tx_2\). Wir haben den zweiten Eigenvektor gefunden:$$\vec v_2=\mathbb R\cdot\binom{t}{1}$$