Löse die Differenzialgleichung und das AWP

Question

Aufgabe:

Löse die Differenzialgleichung mit dem AWP

\( y^{\prime}=\frac{y}{t-1}+(t-1) \cdot e^{2 t} \quad \) AWP :x(2)=0

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz für den homogenen Teil:

y‘=x/t-1

dy/dt= x/t-1

∫ dy/y= ∫t-1 dt

lnIxI = 0,5t^2-t+C1. |e

|x| = e^(0,5t^2 - t +C1)

x = C * e^(0,5t^2-t)

Wie berechne ich die allgemeine Lösung noch?

Ich komme mit dem inhomogenen Teil nicht weiter.

Comments

Hallo,

Du solltest Dich zunächst entscheiden, ob die unbekannte Funktion x oder y heißen soll. Dann solltest Du den üblichen Gebrauch von Klammern machen. Außerdem hast Du einen kleinen Rechenfehler: Beim Übergang zu den Integralen hast Du den Term \(t-1\) in den Zähler gesetzt.

Wegen der Inhomogenität benötigst Du die Technik "Variation der KOnstanten". Schau doch bitte in Deinem Skript nach, ob Ihr dazu eine fertige Formel hergeleitet habt oder unmttelbar vom Prinzip ausgehen müsst.

Gruß

Answer 1

Hallo,

--->Lösung via Variation der Konstanten

---->homogene DGL:

y' - y/(t-1)=0

y'= y/(t-1)

dy/dt= y/(t-1)

dy(t-1)= y dt

dy/y= dt/(t-1)

ln|y| =ln| t-1|+C

y_h= C₁ (t-1)

C1=C(t)

yp=C(t) (t-1)

yp'=C'(t) (t-1) +C(t)

setze yp und yp' in die DGL ein , C(t) muß sich kürzen lassen.

C'(t) =e^(2t)

C(t)=e^(2t)/2

--->

yp=C(t) (t-1)

yp=e^(2t)/2 *(t-1)

y=yh+yp

dann noch die AWB einsetzen

y(2)=0

y=C1 (t-1) +e^(2t)/2 *(t-1)

0=C1 +(e^4)/2

C1= -(e^4)/2

----->

y= -(e^4)/2(t-1) +e^(2t)/2 *(t-1)

Comments

Vielen Dank du hast mir sehr geholfen

---

ist ja schön jemand glücklich gemacht zu haben :)