Berechne die DGL mit AWP y‘+2y-3t-1=0 ,y(0)=-1/4

Question

Aufgabe:

Löse die Differenzialgleichung

y‘+2y-3t-1=0

mit dem AWP y(0)=-1/4

Problem/Ansatz:

Homogene Lösung:

y‘=-2y

dy/dt=-2y

∫dy/y = ∫-2dt

1/y = -2t +C  |e

lny = e^-2t+C

y = e^-2t*e^C

Ist es bis hierhin richtig gelöst?

Die inhomegene Lösung kriege ich einfach nicht hin und komme nicht auf die Lösung des AWP. Kann mir hier jemand weiter helfen?

Answer 1

Hallo,

Setze noch e^c= C1

Es muß ln|y| lauten

bei 1/y muß ln|y| stehen (4.Zeile)

ich habe :

y'= -2y

dy/dt= -2y

dy/y= -2dt

ln|y|= -2t+C

|y| =e^(-2t+C)= e^(-2t) * ± e^C ; ±e^C =C₁

yh=C₁ e^(-2t) , ja das Ergebnis stimmt

Diese DGL kannst Du via Variation der Konstanten lösen:

C(t)= C1

yp= C(t) e^(-2t)

yp'= C'(t) e^(-2t) -2 C(t) e^(-2t)

Setze C'(t) und C(t) in die DGL ein , das C(t) muß sich kürzen

usw.

Comments

Danke für dein Feedback.

Mein weiterer Ansatz:

wenn ich yp und yp‘ einsetze ergibt sich bei meiner Rechnung:

c‘(t) *e^-t+c(t)*e^-t+2*c(t)*e^-t-3t-1

daraus konnte ich dann c(t)*e^-t kürzen.

Bleibt dann :

c‘(t)*e^-t+2-3t-1 =0

übrig?

Danach würde ich nach c‘(t) umstellen:

c‘(t)= -1+3t/e^-t

Im nächsten Schritt müsste ich ja das Integral ausrechnen. Wie gehe ich hier vor? Die Funktion scheint so komplex zu sein.

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Nach Einsetzen habe ich bekommen:

C(t)= ∫ (3t+1) e^(2t) dt

C(t)= ∫ 3t e^(2t) dt + ∫e^(2t) dt

das 1. Integral wird partiell integriert , das 2. normal

Für die Integration gibt es Online Rechner:

https://www.integralrechner.de/

C(t)= ∫ (3t+1) e^(2t) dt = (6t-1)/4 e^(2t)

yp= C(t) e^(-2t) =(6t-1)/4 e^(2t)* e^(-2t)

yp= (6t-1)/4  =(3/2)t -1/4

y=yh+yp

y=C1 e^(-2t) + (3/2)t -1/4

AWB: y(0)=-1/4

-1/4= C1 -1/4 ----------->C1=0

Lösung: y= (3/2)t -1/4

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Hi

ich habe C(t)= ∫ 3t e^(2t) dt mal integriert und komme die beim Integral-Online Rechner auf:

3te^2t/2-3e^2t/4

oder lau Integral-Online Rechner kann man das noch vereinfachen in:

(3(2t-1)*e^2t)/4

Wie mache ich das?? Im Nenner ist doch einmal die 2 und einmal die 4. Wie kommt es dass in der Vereinfachung nur noch die 4 übrig bleibt?

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Wenn ich C(t)= ∫ 3t e^(2t) dt + ∫e^(2t) dt

in den Integralrechner eingebe kommt:

(3(2x-1)*e^2t/4) + e^2t/2

Wie kommt man bei der Vereinfachung auf

((6t-1)*e^2t)/4 ?

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Schreibe für e^(2t)/2 = (2e^(2t))/4

Klammere dann in beiden Termen e^(2t)/4 aus.

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Ok Danke für den Tip :)