Welche Vektoren lassen sich als Linearkombination dieser Vektormenge darstellen?

Question

Ich würde gerne herausfinden, welche Vektoren aus folgender Vektormenge gebildet werden können:

$$\left\{\begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}\right\}$$

Mein Lösungsansatz besteht bis jetzt aus: $$c_{1}*\begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} + c_{2}*\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

$$\rightarrow c_{1} = x$$

$$\rightarrow c_{1} + 2c_{2} = y$$

$$\rightarrow 3c_{1} + c_{2} = z$$

Um meine Frage vielleicht noch etwas anders zu formulieren: Welche Werte können x,y, und z annehmen, welche die Bedingungen des Linearen Gleichungssystems erfüllen?

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%201%7C1%7C3)%0Avektor(0%7C0%7C0%200%7C2%7C1)%0Aebene(1%7C1%7C3%200%7C2%7C1%200%7C0%7C0)

Answer 1

mit c1 + 2c2 = y und c1=x bekommst du c2 = (y-x)/2

in die dritte Gleichung eingesetzt gibt es

3x + (y-x)/2  = z  | *2

6x + y - x = 2z

5x + y - 2z = 0

Also alle (x,y,z)  für die gilt 5x + y - 2z = 0.

Answer 2

Aloha :)

Betrachte die beiden Vektoren so als ob sie eine Ebene durch den Nullpunkt aufspannen würden. Dann gilt für die gesuchte Menge:$$0=\left[\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-6\\0-1\\2-0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=-5x-y+2z$$Für alle Linearkombinationen der beiden Vektoren gilt also:$$5x+y-2z=0$$