Darstellungsmatrix, Startbasis, Zielbasis

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum der reellen Polynome mit Grad höchstens \( 1 . \) Gegeben seien die lineare Abbildung
$$ f: V \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \quad \alpha+\beta X \mapsto(\alpha+\beta, 2 \beta, \alpha-\beta, 3 \alpha-5 \beta)^{T} $$

sowie die Startbasis \( b:=(X, 1+X) \) von \( V \) und die Zielbasis \( a:=\left(e_{4}, e_{3}, e_{2}, e_{1}\right) \) von \( \mathbb{R}^{4} \), wobei \( e_{i} \) den \( i \) -ten Einheitsvektor in \( \mathbb{R}^{4} \) bezeichnet (mit \( i \in\{1,2,3,4\} \) ). Geben Sie die darstellende Matrix \( M_{a}^{b}(f) \) an. Ihr Rechenweg muss klar erkennbar sein.

 \( M_{a}^{b}(f)= \)

Kann mir jemand bitte die Aufgabe lösen? Ich muss das verstehen :)

Answer 1

In den Spalten der Matrix stehen die Koeffizienten die man zur Darstellung

der Bilder der Startbasisvektoren, mit der Zielbasis braucht.

1. Startbasisvektor ist X also 0 +1*X . Also α=0  β=1. Dessen Bild ist

1
2
-1
-5

Dargestellt mit (e4,e3,e2,e1) ist das

-5*e4 -1*e3 +2*e2 +1*e1 , also die erste Spalte der Matrix

-5
-1
2
1

2. Startbasisvektor ist 1+X also 1 +1*X . Also α=1  β=1. Dessen Bild ist
2
2
0
-2
Dargestellt mit (e4,e3,e2,e1) ist das
-2*e4 +0*e3 +2*e2 +2*e1 , also die zweite Spalte der Matrix bestimmt

und somit M =

-5   -2
-1    0
2     2
1     2.

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Vielen lieben Dank :)