Berechne für die Matrizen A=((1,-3)(1,-2) und B((0,-3)(6,3)): A*B, A^{-1}, E.A, A*A^T

Question

Für die Matrizen \( \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 1 & -2\end{array}\right) \) und \( \mathrm{B}=\left(\begin{array}{rr}0 & -3 \\ 6 & 3\end{array}\right) \) berechnen Sie

a. \( \mathrm{A}^{*} \mathrm{~B} \)

b. \( A^{-1} \)

c. \( E . \mathrm{A} \)

d. \( \mathrm{A}^{*} A^{T} \)

Answer 1

a)

$$A*B$$$$=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 1*0+(-3)*6 & 1*(-3)+(-3)*3 \\ 1*0+(-2)*6 & 1*(-3)+(-2)*3 \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} -18 & -12 \\ -12 & -9 \end{pmatrix}$$

b)

Sei

$$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Dann gilt:

$${ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ det(A) } *\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$$$=\frac { 1 }{ a*d-b*c } *\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Vorliegend:

$$A=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$

also:

$${ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 1*(-2)-(-3)*1 } *\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$$$=\frac { 1 }{ 1 } *\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

c) Die Darstellung E.A ist mir nicht bekannt. Bitte erläutern.

d)

$$A=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow { A }^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$$
Also:
$$A*{ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 1*1+(-3)*(-3) & 1*1+(-3)*(-2) \\ 1*1+(-2)*(-3) & 1*1+(-2)*(-2) \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 10 & 7 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}$$

Comments

Was bedeutet AT?

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A^T ist als 'A transponiert' zu lesen.

Beim Transponieren wird die Matrix A  an der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) gespiegelt.