Welche Lagebeziehungen haben die Ebenen E1 und E2?

Question

Aufgabe:

Welche Lagebeziehungen haben die Ebenen E₁ und E₂ ? Bitte kommentieren Sie Ihre Rechnung!

E₁ = \( \begin{pmatrix} -1\\2\\2 \end{pmatrix} \) +r \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \)  + s \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \)

E₂ = \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\2 \end{pmatrix} \) + u \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\1 \end{pmatrix} \) + v \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\5 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

In meinem Buch wurden zu selbem Thema als Beispiel alles in Gleichungen umgeformt. Dies habe ich ebenso versucht. Jedoch weiß ich nicht ob dies richtig ist und wie man weinerrechnet.

-4 = -r - 2s + 3u +v

3 = s- u - v

0 = 2r - 3s + u + 5v

Mit freundlichen Grüßen

Hiyori

Answer 1

Hallo,

In meinem Buch wurden zu selbem Thema als Beispiel alles in Gleichungen umgeformt. Dies habe ich ebenso versucht. Jedoch weiß ich nicht ob dies richtig ist und wie man weinerrechnet.

Du kannst das Gleichungssystem nach dem Gauß'schen Eliminationsverfahren vereinfachen. Sieht in etwa so aus:$$\begin{array}{cccc|c} r& s& u& v\\ \hline -1& -2& 3& 1& -4\\ 0& 1& -1& -1& 3\\ 2& -3& 1& 5& 0\end{array}$$Nun die erste Zeile mit \(-1\) multiplizieren und das doppelte von der dritten abziehen$$\begin{array}{cccc|c}1& 2& -3& -1& 4\\ 0& 1& -1& -1& 3\\ 0& -7& 7& 7& -8\end{array}$$wenn man nun das \(7\)-fache der zweiten Zeile zur dritten addiert ... $$\begin{array}{cccc|c}1& 2& -3& -1& 4\\ 0& 1& -1& -1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 13\end{array}$$.. dann steht in der letzten Zeile \(0=13\) und das ist natürlich falsch. Es existiert also keine Lösung - die Ebenen liegen parallel und sind verschieden.

Unter Umständen ist es geschickter, jede Ebene für sich umzuwandeln - dazu schreibt man sie von der Vektorform als getrennte Gleichungen (am Beispiel der Ebene \(E_1\)):$$\begin{aligned} E_1: \space \vec x &= \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\ 0\\ -2\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 3\end{pmatrix} \\ x &= -1 + r + 2s \\ y &= 2 - s \\ z &= 2 - 2r + 3s \\ \end{aligned}$$Nun eliminiert man die Variablen \(r\) und \(s\). Aus der zweiten Gleichung lässt sich das \(s\) extrahieren und das setzt man in die anderen beiden ein:$$\begin{aligned} s &= 2 -y \\ x &= -1 + r + 2(2-y) \\ z &= 2 - 2r + 3(2-y) \\ \end{aligned}$$und wenn man die erste Gleichung dann nach \(r\) auflöst und in die mit \(z\) einsetzt... $$\begin{aligned} r&= x + 1 - 4 + 2y \\ z &= 2 - 2(x + 1 - 4 + 2y) + 6-3y \\ z &= 2 - 2x - 2 + 8 - 4y + 6-3y \\ E_1: \space -14 &=  - 2x - 7y - z \\ \end{aligned}$$... erhält man eine Koordinatengleichung mit \(x\), \(y\) und \(z\). Das selbe für \(E_2\) gibt:$$E_2: \space -1 = -2x -7y - z$$Nun sieht man, dass die Koeffizienten identisch sind. D.h.: die Ebenen liegen parallel. Und da die Konstanten auf der linken Seite verschieden sind, sind die Ebenen auch verschieden.

Die drei Koeffizienten bilden den Normalenvektor \(n\) der Ebene, der auf der jeweiligen Ebene senkrecht steht (rot im Bild unten). Ich habe Dir das noch im Geoknecht3D eingegeben:

(klick auf das Bild)

etwas übersichtlicher wird die Rechnung mit dem Kreuzprodukt (s. Antwort vom Mathecoach) ... aber ich denke, dass hattet Ihr noch nicht.

Answer 2

Hey Hiyori, dein LGS sieht schonmal gut aus. Du hast hier ein untebestimmtes LGS, also drei Gleichungen mit vier Unbekannten. Jetzt brauchst du doch nur eines deiner vertrauten Lösungsverfahren für LGS anzuwenden, zb Gauß-Algorithmus.

Answer 3

Bestimme zu beiden Ebenen einen Normalenvektor

N1 = [1, 0, -2] ⨯ [2, -1, 3] = - [2, 7, 1]

N2 = [3, -1, 1] ⨯ [1, -1, 5] = -2 [2, 7, 1]

Die Normalenvektoren sind linear Abhängig damit sind die Ebenen parallel oder identisch

[-1, 2, 2]·[2, 7, 1] = 14

[3, -1, 2]·[2, 7, 1] = 1

Da hier nicht das gleiche heraus kommt, liegen die Ebenen parallel und nicht identisch.