Fourierreihe und Fourierkoeffizienten

Question

Aufgabe:

$$Die\,2\pi-periodische\,Funktion\,f\,ist\,auf\,dem\,Intervall\,(-\pi , \pi )\,gegeben\,durch$$

$$f\left(x\right)=\left|x\right|\left(\pi -\left|x\right|\right)$$

$$1)\,Was\,ist\,der\,Wert\,der\,Fourierreihe\,bei\,x=\pi?$$

2) Zeigen Sie mit Hilfe der Fourierreihe, dass:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{1}{n^4}=\frac{\pi ^4}{90}$$

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich gar nicht wie ich bei der 2) vorgehen soll...

Answer 1

Hilft das?

https://math.stackexchange.com/questions/650966/evaluate-sum-infty-n-1-frac1n4-using-parsevals-theorem-fourier-ser

Comments

Die Seite hat mir schon etwas weiter geholfen :)

Am Ende des Tages kann ich durch das Theorem von Parseval einfach die Gleichungen gleichsetzen.

Ich glaub dass sollte ich soweit verstanden haben.

Ich hänge gerade allerdings jetzt noch an meinen Koeffizienten, für a₀ erhalte ich:

$$\frac{4}{2\pi }\int _0^{\pi }\:\left(\pi \:x-x^2\right)dx\:=\frac{\pi ^2}{3}$$

und für a_n erhalte ich:

$$\frac{2\cdot 2}{2\pi }\int _0^{\pi }\:\left(\pi \:x-x^2\right)cos\left(nx\right)dx=-\frac{2\left(\left(-1\right)^n+1\right)}{n^2}$$

Ist das soweit denn schon mal richtig?

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Und für den Satz von Parseval habe ich mein f(x):

$$f\left(x\right)=\left|x\right|\pi -x^2$$

Da ich aber f(x)² benötige erhalte ich für mein f(x)²:

$$f\left(x\right)^2=\left(\left|x\right|\pi \:-x^2\right)\cdot \left(\left|x\right|\pi \:-x^2\right)=x^2\pi ^2-2x^3\pi +x^4$$

Damit folgt für den Satz von Parseval für a_n² und a₀²

$$a_n^2=\left(-\frac{2\left(\left(-1\right)^n+1\right)}{n^2}\right)^2=\left(\frac{-2\left(-1\right)^n}{n^2}\right)^2+\left(\frac{-2}{n^2}\right)^2=\frac{4}{n^4}+\frac{4}{n^4}=\frac{8}{n^4}$$

$$a_0^2=\left(\frac{1}{3}\pi ^2\right)^2=\frac{1}{9}\pi ^4$$

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Für die Gleichung:

$$\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\:\left|f\left(x\right)^2\right|dx$$

erhalte ich dann:

$$\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\:x^2\pi ^2-x^3\pi +x^4dx=\frac{8}{15}\pi ^4$$

was aber nicht richtig ist, bzw. ich damit nicht auf das Ergebnis von

$$\frac{\pi ^4}{90}$$

komme... Erkennt jemand evtl meinen Fehler?

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Hallo,

Du hast bei der Berechnung von \(f(x)^2\) den Betrag bei \(x\) vergessen. Man würde hier wohl auch lieber die Symmetrie von f ausnutzen.

Du hast bei der Berechnung von \(a_n^2\) einen schweren Fehler gemacht: Wie Quadriert man eine Summe??

Die Summe über \(a_n^2\) wertet man unabhängig davon anders aus: Wenn n ungerade ist ist \(a_n=0\). Man braucht also nur die Summe über die geraden n berechnen:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2= \sum_{k=1}^{\infty} a_{2k}^2$$

Gruß

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Danke für deine Rückmeldung!

Das würde bedeuten dass ich für f(x)² einfach das Integral folgendermaßen umschreibe:

$$\frac{2}{2\pi }\int _0^{\pi }x^2\pi ^2-x^3\pi +x^4dx$$

und für die Betrachtung von a_2k erhalte ich dann erstmal für die Gleichung aufgrund der ausschließlichen Betrachtung von a_2k da das (-1)ⁿ mit n=2k zu +1 wird:

$$a^2_{2k}=\left(-\frac{2\left(1+1\right)}{n^2}\right)^2=\left(\frac{-4}{n^2}\right)\cdot \left(\frac{-4}{n^2}\right)=\frac{16}{n^4}$$

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Ich versteh überhaupt nicht was Du da machst. Die Aufgabe 2 ist in dem Link vollständig gelöst. Das muss man nur verstehen und abschreiben.

Bei der Aufgabe 1 hast Du die Koeffizienten richtig ausgerechnet. Jetzt musst Du noch den Wert der Fourierreihe an der Stelle \( \pi \) bestimmen. Warum Du bei Aufgabe 2 diese Berechnungen mit der Parsevalschen Gleichung machst, versteh ich nicht.

Um auf den Grenzwert zu kommen musst Du benutzten das gilt $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi}{6}  $$ und $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12} $$

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Hallo,

Du hast beim Quadrieren von f den Faktor 2 im gemischten Term vergessen.

Vielleicht solltest Du die Parseval-Gleichung mal hierhin, das kann ich nicht ganz verfolgen.

Wenn Du \(a_{2k}^2\) berechnest, musst Du natürlich überall in dem Term \(n\) durch \(2k\) ersetzen: \(a_{2k}^2=\frac{1}{k^2}\)

@ullim: Dem Fragesteller geht es (wohl) um die Berechnung mit Hilfe der vorgegebenen Funktion und nicht mit der Funktion des Links.

Gruß

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Hi, ich komme da leider grad echt nicht weiter...

Am Ende des Tages würde ich das gerne per Parseval/Plancherel zeigen, da unser Prof darauf wert gelegt hat. Für Parseval gilt ja:

$$\sum _{n=0}^{\infty }\:\left|c_n\right|^2=\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\:\left|f\left(x\right)\right|^2dx$$

Damit folgt:

$$a_0^2=\left(\frac{1}{3}\pi ^2\right)^2=\frac{1}{9}\pi ^4$$ und

$$a^2_{2k}=\left(-\frac{2\left(1+1\right)}{n^2}\right)^2=\left(\frac{-4}{n^2}\right)\cdot \left(\frac{-4}{n^2}\right)=\frac{16}{n^4}$$

Damit folgt für die Gleichung:

$$\frac{1}{9}\pi ^4 + \sum _{n=1}^{\infty }\:a_{2k}^2\:=\:\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\:\left|f\left(x\right)\right|^2dx$$

->

$$\frac{1}{9}\pi ^4 + \sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{16}{n^4}\:=\:\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\:x^2\pi ^2-2x^3\pi +x^4dx$$

->

$$\frac{1}{9}\pi ^4 + \sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{16}{n^4}\:=\:\frac{2}{2\pi }\int _{0 }^{\pi }\:x^2\pi ^2-2x^3\pi +x^4dx$$

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da muss ich dann natürlich noch n mit n=2k ersetzen

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Für die rechte Seite gilt:

$$\frac{2}{2\pi }\int _0^{\pi }\:x^2\pi ^2-2x^3\pi +x^4dx=\frac{\pi ^4}{30}$$

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Tragen wir mal zusammen was wir haben

$$ a_0 = \frac{\pi^2}{3} $$ $$  a_n = -2 \ \frac{(-1)^n+1)}{k^2} $$ $$ b_n = 0 $$  $$  \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx = \frac{\pi^4}{15} $$ und $$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_n^2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx = \frac{\pi^4}{15}  $$ Also $$  \sum_{k=1}^\infty a_n^2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{k^4} [ (-1)^k +1 ]^2   = \frac{\pi^4}{90}  $$

Jetzt ist $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{k^4} [ (-1)^k +1 ]^2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{8}{k^4} ( (-1)^k+1)  =  \sum_{k=1}^\infty \frac{16}{(2k)^4} =\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} = \frac{\pi^4}{90} $$

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Hallo,

@ Mondragon: Was bedeutet \(c_n\) in Deiner Parseval-Gleichung? Hast Du eventuell die komplexe Variante mit der reellen verwechselt?

@ Ullim: Die Parseval-Gleichung hat \(\frac{a_0^2}{2}\) - scheinst du auch gerechnet zu haben? Schreibfehler: \(\pi^2\) statt \(\pi^4\)?

Gruß

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Ja danke, war ein Tippfehler. Habe ich korrigiert.

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Hi, ich danke euch für eure Hilfe!

Hab das Vorgehen jetzt auch mal endlich verstanden :D

War echt ne lange Geburt, daher vielen Lieben dank für eure Geduld :)