Gleichungssystem lösen ohne klassische Gauß „Treppe“

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Uloungsababe 5
\( \left(\begin{array}{ccc|c}2 & -2 & 4 & 0 \\ 1 & -(a-3) & 5 & 6-6 \\ 2 & 2 & -8 & 4 \\ 0 & & & 0 \\ 2 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & -a+4 & 3 & 6-b \\ 0 & 4 & -12 & 4 & 1-1: 2 & -(a-3)=-a+3 \\ 2 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & -a+4 & 3 & 6-b \\ 0 & 1 & -3 & 1\end{array}\right) \cdot 1+1 \cdot \frac{11}{1} \)
\( \left(\begin{array}{ccc|c}2 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & -a+5 & 0 & 7-b \\ 0 & 1 & -3 & 1\end{array}\right) \)

Bei der Berechnung eines Gleichungssystems habe ich folgende Rechnung gemacht, wobei ich dadurch auf ein anderes Ergebnis gekommen bin, als in der Lösung.

Darf ich das Gleichungssystem so lösen? Oder muss ich zwangläufig die mittlere Spalte auf 0 bringen?

Vielen Dank für Antworten!!

Answer 1

Ausgehend von deiner letzten Matrix löse ich rückwärts auf

(5 - a)·y = 7 - b → y = (b - 7)/(a - 5)
(b - 7)/(a - 5) - 3·z = 1 → z = (b - a - 2)/(3·(a - 5))
2·x - 2·(b - 7)/(a - 5) + 4·(b - a - 2)/(3·(a - 5)) = 0 → x = (2·a + b - 17)/(3·(a - 5))

Das ist auch laut Wolframalpha die Lösung. Was hattest du heraus?

Comments

Du hast meine Frage doch überhaupt nicht beantwortet. Was die Lösung ist weiß ich auch.

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Das ist doch nun logisch. Du darfst z.B. Zeilen vertauschen (du schreibst also nach der ersten Gleichung erst die dritte Gleichung und dann die zweite Gleichung.

Du darfst auch Spalten vertauschen. Wenn du z.B. die Gleichung

2x-2y+4z=0 hast, kannst du sie natürlich auch als

2x+4z-2y=0 schreiben. Wenn du die entsprechende Vertauschung der Reihenfolge in allen drei Gleichungen vornimmst und auch die Reihenfolge im Vektor mit den drei Variablen tauschst, hast du Spalten der Matrix getauscht.

Die "klassische" Position der Nullen beim Gaußverfahren kann also durch diese möglichen Vertauschungen an andere Stellen rutschen.

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Bei der Berechnung eines Gleichungssystems habe ich folgende Rechnung gemacht, wobei ich dadurch auf ein anderes Ergebnis gekommen bin, als in der Lösung.

Du darfst es natürlich so machen wie du es gemacht hast. Ich habe doch extra mit deiner Rechnung weiter gemacht um zu zeigen, das das richtige Ergebnis heraus kommt. Du hast dich also nachher nur beim Auflösen der Gleichungen vertan, wenn du etwas verkehrtes heraus hattest.

Eigentlich dachte ich das wäre klar wenn ich deine rechnung nur einfach weitermache um zu zeigen das man auch so aufs richtige Ergebnis kommt. Tut mir leid wenn du es nicht kapiert hast.

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Mir fehlt da der Hinweis, was geschieht, wenn a=5,

falls b = 7, können wir eine Variable frei wählen,

für b≠7 führt es aber zum Widerspruch.

Oder ist das so klar, das man es nicht erwähnen muss?

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Da der Fragesteller gesagt hat ihm liegt die Lösung vor und selber zur Lösung keine Frage hatte gehe ich davon aus der das klar ist.

Es ging ja nur darum das der Fragesteller nicht die typische gaussche Dreiecksmatrix erzeugt hat und sich gefragt hat warum das so nicht geht. Ob man das so nicht machen darf.

Ich gehe davon aus das wenn man als Lösung einen Bruch heraus hat wo der Nenner Null werden kann, dass man bei der Angabe der Lösungen eine Fallunterscheidung machen sollte.

Aber wie gesagt denke ich nicht das es dem Fragesteller hier um die Angabe der Lösung geht.