Grenzwert von \frac{x-4}{\sqrt{8-x}-2} bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich muss den Grenzwert der folgenden Funktion mithilfe von l´Hospital bestimmen.

a_n= \( \lim\limits_{x\to 4} \) \( \frac{x-4}{\sqrt{8-x}-2} \)

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass im Nenner und im Zähler 0 rauskommt wenn ich 4 einsetzte, also sind die Bedingungen erfüllt um l´Hospital anzuwenden, aber wie mache ich weiter?

Wenn ich versuche die Formel abzuleiten, komme ich auf 1/-1/2*(\( \sqrt{8-x} \)) und weiter komme ich nicht.

Answer 1

Falls du es wirklich mit L'Hospital machen möchtest:

$$\text{Es sind } f(x)=x-4 \text{ und }\\ g(x)=\sqrt{8-x}-2 \text{ auf } (-\infty,8) \text{ differenzierbar, es gilt } f(x) \xrightarrow{x\to 4} 0 \text{ und } \\g(x)\xrightarrow{x\to 4} 0 \text{.} \\\text{Zusätzlich gilt } f'(x)=1 \text{ und } g'(x)=-\frac{1}{2}\cdot (8-x)^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2\cdot \sqrt{8-x}}\neq 0 \\ \forall x\in (-\infty,8)$$

$$\text{Die Regel von L'Hospital kann angewendet werden, denn }\\ \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1}{-\frac{1}{2\cdot \sqrt{8-x}}} = -2\cdot \sqrt{8-x}\xrightarrow {x\to 4} -2\cdot \sqrt{8-4} = -4 \in [-\infty, \infty] \text{.}$$

$$\text{Sofort folgt } \lim_{x\to 4}\frac{x-4}{\sqrt{8-x}-2} = \lim_{x\to 4}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 4} \frac{f'(x)}{g'(x)} = -4 \text{.}$$

Answer 2

Lass l'Hospital stecken. Erweitere den Funktionsterm mit \( \sqrt{8-x}+2 \).

Comments

Die Aufgabe ist es aber l´Hospital anzuwenden, damit wir lernen wie dieser Funktioniert.

Answer 3

Ich empfehle für Studenten die Wolframalpha-App die bei solchen Aufgaben sehr effektiv hilft.

Comments

Wie hat man nur vorhergehende Generationen betrogen, weil man ihnen diese Krücken vorenthalten hat ...