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Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Folge (an) den Grenzwert g hat:

an  = \( \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) , g = 0


Problem/Ansatz:

Die Aufgabe will, dass man einen Grenzwertbeweis mit Epsilontik durchführt.
Als Ansatz habe ich schon mal in die Formel eingesetzt:

| \( \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) - 0 | < ε  = \( \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) < 0

Nun müsste ich die Ungleichung nach n umstellen, habe aber leider keine Idee, wie ich das mit der Wurzel und dem Bruch machen kann.

Vielen Dank


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Aloha :)

Schätze den Term zwischen den Betragszeichen nach oben ab. Nutze dazu aus, dass ein Bruch größer wird, wenn sich sein Nenner verkleinert:$$\left|\frac{\sqrt n}{n+1}-0\right|=\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\frac{\sqrt n}{n}=\frac{1}{\sqrt n}$$

Nun wähle ein \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest. Bestimme, ab welchem \(n\) die obere Grenze kleiner als \(\varepsilon\) ist:$$\frac{1}{\sqrt n}\stackrel!<\varepsilon\implies\sqrt n>\frac1\varepsilon\implies n>\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^2=\frac{1}{\varepsilon^2}$$

Damit haben wir gezeigt:

Für jedes \(\varepsilon>0\) gibt es ein \(n_0\coloneqq\left\lceil\frac{1}{\varepsilon^2}\right\rceil\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|\frac{\sqrt n}{n+1}-0\right|<\frac{1}{\sqrt n}<\varepsilon$$Daher konvergiert \(\left(\frac{\sqrt n}{n+1}\right)\) gegen \(0\).

Avatar von 152 k 🚀

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