Aloha :)
Schätze den Term zwischen den Betragszeichen nach oben ab. Nutze dazu aus, dass ein Bruch größer wird, wenn sich sein Nenner verkleinert:$$\left|\frac{\sqrt n}{n+1}-0\right|=\frac{\sqrt{n}}{n+1}<\frac{\sqrt n}{n}=\frac{1}{\sqrt n}$$
Nun wähle ein \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest. Bestimme, ab welchem \(n\) die obere Grenze kleiner als \(\varepsilon\) ist:$$\frac{1}{\sqrt n}\stackrel!<\varepsilon\implies\sqrt n>\frac1\varepsilon\implies n>\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^2=\frac{1}{\varepsilon^2}$$
Damit haben wir gezeigt:
Für jedes \(\varepsilon>0\) gibt es ein \(n_0\coloneqq\left\lceil\frac{1}{\varepsilon^2}\right\rceil\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|\frac{\sqrt n}{n+1}-0\right|<\frac{1}{\sqrt n}<\varepsilon$$Daher konvergiert \(\left(\frac{\sqrt n}{n+1}\right)\) gegen \(0\).
