Die Dgl. für f(t) und g(x) hast Du ja schon hin geschrieben. Aus
f(t)f′(t)+f(t)=λ folgt f′(t)=(λ−1)f(t) mit der Lösung f(t)=Ce(λ−1)t
Und aus g(x)g′′(x)=λ folgt g(x)=Aeλx+Be−λx
D.h. die Lösung u(t,x) sieht so aus
u(t,x)=Ce(λ−1)t(Aeλx+Be−λx) mit noch zu bestimmenden Größen A,B,C,λ
Aus der ersten Randbedingung ux(t,0)=0 folgt ux(t,0)=Ce(λ−1)tλ(A−B)=0 also A=B. D.h. die Lösung sieht jetzt so aus u(t,x)=C1e(λ−1)t(eλx+e−λx)
Aus der zweiten Randbedingung folgt ux(t,π)=C1e(λ−1)tλ(eλπ−e−λπ)=0 D.h. e2λπ=1 und das gilt für λk=−k2 und k∈Z
Damit ist jetzt uk(t,x)=cke(λk−1)t(eλkx+e−λkx)=2cke(−k2−1)tcos(kx) und auch u(t,x)=k=−∞∑+∞uk(t,x) eine Lösung.
Diese Summe kann auch geschrieben werden als u(t,x)=2c0e−t+k=1∑+∞akcos(kx)e(−k2−1)t
Und daraus folgt u(0,x)=2c0+k=1∑+∞akcos(kx)=cos(2x)+4cos(6x)
Damit ergeben sich die Koeffizienten zu a2=1 und a6=4. Die restlichen Koeffizienten sind 0
Also lautet die Lösung u(t,x)=cos(2x)e−5t+4cos(6x)e−37t