Vektoren und Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks

Question

Gegeben ist die Matrix $$\begin{pmatrix} a & 1 &1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & 1 &a\end{pmatrix}$$

Nun werden die Zeilenvektoren von A für jedes $$a\in \mathbb{R}$$ als Punkte im Raum aufgefasst:

$$P_a=(a,1,1),\,Q_a=(1,a,-1),\, R_a=(1,1,a)$$ und es soll gezeigt werden, dass es kein a gibt, für das gilt, dass die diese Vektoren die Eckpunkte eine gleichseitigen Dreiecks sind.

Ich wäre über Hilfe dankbar!

Answer 1

Ich lasse das a als Index mal weg

PQ = [1 - a, a - 1, -2]
PR = [1 - a, 0, a - 1]
QR = [0, 1 - a, a + 1]

|PQ|² = |PR|² --> 2·a^2 - 4·a + 6 = 2·a^2 - 4·a + 2 → für kein a erfüllt.

Comments

Könntest du mir erklären, wie man auch diesen Rechenweg kommt, damit ich es nachvollziehen kann? Das wäre super :-)

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Was verstehst du den konkret nicht?

Weisst du warum ich die Seitenvektoren aufstelle?

Weißt du wie du die Länge bzw. den Betrag eines Vektors berechnest?

Wenn der Betrag zweier Vektoren gleich ist dann ist auch das Quadrat der Beträge gleich. Wenn du das Quadrat nimmst entfallen die Wurzeln was etwas handlicher ist.

Bedenke das ich hier keine abschreibfertige Rechnung habe. Du solltest aber anhand dieser Zwischenschritte die Rechnungen mit Zwischenrechnungen aufschreiben können.

Wenn du irgendwo Probleme hast dann melde dich gerne.