Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Ebene E gegen die x1 / x2 Ebene.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Ebene E gegen die x₁ / x₂ Ebene.

Die gegebenen Punkte sind A(1|-1|2), B(2|1|8) und C(-1|-2|2)

Problem/Ansatz:

Meine Koordinatengleichung beträgt 6x₁ -12x₂ + 3x₃  =24

Ich habe gedacht, dass ich nun so weiterrechne:

Der Normalenvektor für x1/x2 ist \( \begin{pmatrix} 0\\0\\8 \end{pmatrix} \) , also

cos(alpha) = \( \frac{6×0 -12×0 +3×8}{\sqrt{x}×\sqrt{x}} \) 

Ich weiß leider nicht welche Wurzeln unter den Bruch gehören, außerdem bin ich mir bei der Sache mit dem Normalenvektor nicht sicher.

Liebe Grüße

Hiyori

Answer 1

Im Nenner √(6^2 + 12^2 + 3^2) *√(0^2 + 0^2+8^2)

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Answer 2

Einen Normalenvektor auf der x₁x₂-Ebene hast du schon gefunden und einen Vektor senkrecht auf E ebenfalls. Deren Beträge sind 8 und √189.

Der gesuchte Winkel α berechnet sich dann als cos(α)=\( \frac{24}{8·√189} \)=\( \frac{1}{√21} \) .

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Das ist nett. Dankeschön!

Answer 3

Hallo,

Meine Koordinatengleichung beträgt 6x1 -12x2 + 3x3  =24

die darfst Du ruhig nochmal durch3 dividieren ... $$E: \space 2x_1 - 4x_2 + x_3 = 8$$... dann werden die Zahlen etwas handlicher.

Der Normalenvektor für x1/x2 ist \(\begin{pmatrix} 0\\0\\ 8 \end{pmatrix}\), also ...

auch hier reicht ein Vektor der Länge 1 - die Länge spielt aber keine Rolle. Also: $$e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \quad |e_z| = 1$$

Ich weiß leider nicht welche Wurzeln unter den Bruch gehören, ...

Unter den Bruch gehören die Beträge (also die Längen) der Vektoren. Allgemein gilt für zwei Vektoren \(n\) und \(e_z\) die den Winkel \(\alpha\) einschließen:$$\cos(\alpha) = \frac {n \cdot e_z}{|n| \cdot |e_z|}$$Aus der Koordinatengleichung oben folgt$$n = \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 1\end{pmatrix}, \quad \implies |n| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{21}$$in diesem Fall wird dann$$\cos(\alpha) = \frac{ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 1\end{pmatrix}}{1 \cdot \sqrt{21} } = \frac 1{\sqrt{21}} \quad \implies \alpha \approx 77,4°$$Das sieht so aus:

            

\(\alpha\) ist der Winkel zwischen dem schwarzen Vektor \(n\) und der Z-Achse (rot). Klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D.

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Hallo, ich habe eine kurze Frage. Muss man die 77,4Grad von 180 abziehen um auf den Neigungswinkel der Ebene gegen die x1/x2 Grundebene?

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Muss man die 77,4Grad von 180 abziehen um auf den Neigungswinkel der Ebene gegen die x1/x2 Grundebene?

Nein - eine Ebene hat ja selbst nicht so etwas wie eine Richtung. Folglich wählt man immer den kleineren Winkel. Und der ist zwangsläufig immer \(\le90°\). In diesem Fall eben 77,4° und nicht 102,6°.

Wenn bei der Berechnung von \(\cos(\alpha)\) ein negativer Wert heraus kommt, reicht es bei Winkeln zwischen zwei Ebenen aus, den \(\arccos\) des Betrags dieses Wertes zu bestimmen.

Liegt irgendwo eine Richtung vor, so wäre das was anderes. Aber das haben wir hier nicht.