Aufgabe: ∑ k/x^k =1 auflösen k strebt gegen Unendlich
Problem/Ansatz:
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{x^k}}} \) =1
Mein Ansatz:
Ich schreibe mir die Folge für x=10 auf
K=1
0,1
K=2
0,12
Das sehe ich jetzt schon, das wird unübersichtlich, also
K=2
0,11 +
0,01
K=3
0,111+
0.011+
0,001
K=4
0,1111+
0,0111+
0.0011+
O, 0001
Jetzt überspringe ich einige k
K=10
0.1111111111+
0,0111111111+
0,0011111111+usw
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{10^k}}} \) =\( \frac{10}{9*9} \)
Die Einsen hätte ich ja auch für jedes andere x geschrieben, also folgt für x=5
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{5^k}}} \) =\( \frac{5}{4*4} \)
für x also
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{{x^k}}} \) =\( \frac{x}{(x-1)*(x-1)} \) =1
\( x^{2} \) -3x+1=0
x₁=\( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \)
x₂=\( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \)
Wie ist es möglich, dass es bei einer Summe zwei Lösungen Gibt ?
Habe ich etwas falsch gemacht?
