x^3 - 6x -8 = 0 Es gibt nur eine Nullstelle x=2.95 Wie lautet der Rechenweg?

Question

Aufgabe:

0.25x^4 - 1.5x^2 - 2x

Ansatz
0.25x^4 -1.5x^2 -2x    1. Erweiern mit 4
x^4 - 6x^2 - 8x            2. Schritt ausklammern
x(x^3 - 6x - 8)              3. Produkt ist Null

x^3 -6x - 8 = 0             Es gibt nur eine Nullstelle X=2.95
Problem: Der Rechenweg

Comments

Zum Rechenweg: Substituiere \(x=z+\frac2z\) und erhalte \(\left(z^3-4\right)^2=8\). Löse nach \(z\) auf und resubstituiere.

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Offebar habe ich mich widersprüchlich ausgedrückt, Entschuldigung.

Es gibt zu dieser Funktion mehrere Nullstellen. Eine Nullstelle ist: x=2.95

Bei Wolfram wird hier auch ein Lösungsweg für die Nullstelle x=2.95 angegeben.

Es geht mir nur um diesen einen Lösungsweg für die Nullstelle x=2.95 den ich nachvollziehen wollte.

Ob ich jetzt die erste Funktion .25x^4-1.5^x2-2x anwende oder x^3-6x-8 ist für die Nullstelle x=2.95

nicht entscheidend Diese Nullstelle von x=2.95 ist bei beiden Funktionen vorhanden.

Wolfram bietet auch die gleichen Lösungen und Rechenwege, nur kann ich sie nicht ganz nachvollziehen.

https://www.wolframalpha.com/widgets/gallery/view.jsp?id=747c477ba8a0ff067fc3028f3c33a42c

Der Tip mit der Cardano Formel scheint wohl der richtige Weg dazu zu sein.

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Das ist ein möglicher Lösungsweg für die Nullstelle x=2.95.

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Binom (z^3 - 4)^2  , x = z + 2/z

z= 1.587

x= 1.587 + 2/1.587

x= 2.847

Ergebnis nach Wolfram x= 2.95

Wo liegt mein Rechenfehler?

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Zu lösen ist \(\left(z^3-4\right)^2=8\), nicht \(\left(z^3-4\right)^2=0\). Es gibt zwei Lösungen \(z_{1;2}=\sqrt[3]{4\pm\sqrt8}\). Jede davon liefert nach Rücksubstitution die gesuchte Lösung.

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Oh, Entschuldigung da hab ich wirklich geschlafen, sorry. DANKE!

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Eigentlich ist alles gesagt, doch ich würde gerne Dieter Jörgensen " Der Rechenmeister" ISBN 3-7466-1704-9 Seite 146 zitieren.

Dabei ging es um die Aufgabe, das x zu finden, so dass x³ + 6 x =20

Wir sehen x₁ = 2, doch er sollte es berechnen, noch langen Kampf, kam dann die Idee.

"Es war ganz einfach.

Der rote Würfel und der Gnomon füllten zusammen genau die Kiste aus.

Also waren der Innenraum der Kiste abzüglich des roten Würfels gleich dem Gnomon, gleich Fiors 20.

Also waren Kistenlänge mal Länge des roten Würfels gleich der Länge eines Gnonombeins, gleich Fiors 6 und davon ein Drittel, das hieß 2, weil es drei Beine waren.

Aus diesen beiden Also-Sätzen würde der biederste seiner Euklidschüler spielend die Kistenseite und die Seite des Würfels ausrechnen können.

Und das war ja schon die Kubusseite.

Die Kubusseite war einfach die Kistenseite minus der Seite des roten Würfels.

Fertig."

Nun spiele ich mal den biederen Euklidschüler.

x³ + 6x = 20

x³ + 6x + R = 20 +R die Kiste

r³ = R der rote Würfel

x + r = \( \sqrt[3]{20+R} \) die Seite der Kiste

6 = 3 (x+r)*r die drei Arme des Gnonom

x + r = \( \frac{2}{r} \)

einsetzen und hoch 3

8 = (20+R) *R

R² + 20R -8 =0

R₁ = 0,3923

\( \sqrt[3]{20+R1} \) = 2,732 = x₁ + r

\( \sqrt[3]{R1} \) = 0,732 = r

x₁= 2 die Kubusseite

Puh, fertig

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Hallo, danke für das tolle Beispiel, ich hab noch etwas Probleme mit dem Latex. Ich melde mich aber noch zu deinem Beispiel.

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$$ x^{3}+6x=20\ |\ Substitution\ R=r^{3}\\ x^{3}+6x + R = 20+R\ |\ Auf\ beiden\ Seiten\ Gleiches\ hinzu.\\ x^{3}+6x + r^{3}=20+R\ |\ 3. Binom\\ (x+r)^{3}=20+R \ |\ 3. Wurzel\ da\ 3. Potenz\ Wurzel\ und\ Potenz\ heben\ sich\ auf.\\ x+r =\sqrt[3]{20+r^{3}}\\ 6=3(x+r)*r\ |\ Bitte\ den\ Rechenweg. $$

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6= 3*( x+r)r

6x=3*(x+r)*r*x

Du hast einen Würfel der Kantenlänge x,

Nun legst Du daran 3 Quader mit den Kantenlängen (x+r) ; r ; x

Dann fehlt nur noch ein Würfel mit der Kamtenlänge r

und du hast wieder einen Würfel mit der Kantenlänge (x +r )

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Die Aufgabe stammt aus einem Rechenmeisterwettstreit in Venedig im Jahr 1535 zwischen Tartaglia und Antoniomaria Fior. Auch in einer damals reichen Stadt  Venedig fanden zwei Rechenmeister nicht genug Arbeit. Darum gab es einen Wettstreit, sie haben sich gegenseitig Aufgaben gegeben.

Tartaglia bekam u.A.folgende für uns etwas schwer zu verstehende Aufgabe.

" Ein Kubus und einige seiner Seiten sind gleich einer Zahl. Wie lang ist die Kubusseite?

" Dieser Antoniomaria Fior mußte ein Irrer sein....Luca Pacioli, der hatte es dann endgültig für alle kommenden Jahrhunderte in die SUMMA drucken lassen: >Ein Kubus und einige seiner Seiten gleich einer Zahl< ist so unlösbar wie die Quadratur des Kreises."

Answer 1

Für das Finden von Nullstellen ist diese Seite ganz hilfreich.

Wenn du Zeit und Muße hast, ist für das Problem x³,+px +q =0 das Buch von Dieter Jörgensen über Tartaglia ganz schön. " Der Rechenmeister" dies zeigt, welche Mühe, unsere Vorfahren mit der Lösung solcher Probleme hatten.

https://books.google.de/books/about/Der_Rechenmeister.html?id=OnuaCwAAQBAJ&printsec=frontcover&source=kp_read_button&redir_esc=y

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Comments

Dank für den Tip. Die Seite von Arndt Bruenner ist wirklich sehr hilfreich. Er hat in diesem Fall das Newton Verfahren angewendet.

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Gib mal die Parameter in die Felder für Kubische Gleichungen ein und drücke auf Lösungen mit Erläuterungen, dann siehst du, dass er Cardano/Tartaglia verwendet und erklärt hat.

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Ja, danke da wird es wirklich ausführlich mit der Cardano Formel erklärt. Werde mir das genauer anschauen und notieren, danke

Answer 2

dafür verwendest Du wohl am besten ein Näherungsverfahren wie bspw wie das von Newton ;).

Grüße

Answer 3

Hallo Aki,

der Weg mit dem geringsten Aufwand ist hier sicher das Newton-Verfahren. Eine gute Beschreibung dazu findest Du z.B. hier.

Schauen wir uns zunächst die Funktion \(f(x)=x^3-6x-8\) an:

~plot~ x^3-6x-8;[[-6|6|-18|12]] ~plot~

Offensichtlich gibt es nur eine Nullstelle, die etwa bei \(x_0 \approx 2,9\) liegt. Man wählt einen geeigneten Startpunkt - also z.B. \(x=3\) - und stellt sich folgende Tabelle auf:$$\begin{array}{c|cc}x& f(x)& f'(x)\\ \hline 3& 1& 21\\ 2,952381& 0,020300& 20,14965986\\ 2,951373& 0,000009& 20,13181629\\ 2,951373& 0,000000& 20,13180839\end{array}$$Für jedes \(x\) wird das \(f(x)\) und die zugehörige Ableitung \(f'(x)\) berechnet. Und jedes neue \(x_{i+1}\) der nächsten Zeile berechnet sich aus den drei Werten der vorhergehenden Zeile:$$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_{i}}$$Du siehst, dass man sehr schnell zu einem guten Näherungswert kommt.

Falls Du nicht wissen solltest, was \(f'(x)\) ist, so gibt es auch andere Verfahren, die ohne Ableitung auskommen. Dann melde Dich bitte noch mal.

Comments

Man sollte doch zunächst mal nachfragen, was der Fragesteller wissen will.

Wie man die Nullstelle (ca. 2,95) berechnet?

Oder geht es vielleicht nur darum zu zeigen, dass es die EINZIGE Nullstelle ist?

(Was sie übrigens nicht ist, denn niemand hat den Fragesteller darauf hingewiesen, dass er die Nullstelle 0 der ursprünglichen Funktion 4. Grades wohl vergessen hat. Gar nicht davon zu reden, dass bereits die Ursprungsform nur ein zusammenhangloser Term war.)

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wie in vielen Fällen, ist auch auch hier die Fragestellung nicht eindeutig. Das hast Du gut erkannt!

Aus diesem Grunde habe ich meine Kristallkugel zu Rate gezogen und die hat folgendes offenbart:

Aki möchte einen Rechenweg wissen, der ihm die einzige Nullstelle der Funktion \(f(x)=x^3-6x-8\) im Bereich der reellen Zahlen liefert.

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Hallo, danke für deine Kritik.

Die Die Gleichung hat 3 Nullstellen, eine im realen Bereich und zwei im imaginären Bereich. mit dem Newton Näherungs-Verfahren habe ich keine Probleme die Nullstelle von X=2.95 zu errechnen.

Der Rechenweg für die reale Nullstell x=2.95 sieht nach Wolfram so aus:

https://www.wolframalpha.com/widget/widgetPopup.jsp?p=v&id=747c477ba8a0ff067fc3028f3c33a42c&title=&theme=pink&i0=.25x%5E4-1.5x%5E2-2x&i1=0&i2=x&podSelect=

wie gesagt ich wollte lediglich den Rechenweg von der einen Nullstelle x= 2.95 nach vollziehen.

Danke für deine Mühe.

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Das Verfahren von Cardano/ Tartaglia bietet sich hier an.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

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Danke für deinen Tip, ich werde mich rein arbeiten. Insgesamt gibt es ja 4 Nullstellen, zwei im realen und zwei im imaginären Bereich. Ich wollte eben nur den Rechenweg für de Nullstelle x=2.95 nach vollziehen. Danke, cardano bietet sich an.

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Vielen Dank, das newton Näherungsverfahren ist mir bekannt und ich habe keine Probleme es anzuwenden. Die erste Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an.

https://www.wolframalpha.com/widget/widgetPopup.jsp?p=v&id=747c477ba8a0ff067fc3028f3c33a42c&title=&theme=pink&i0=.25x%5E4-1.5x%

Es gibt insgesamt 4 Nullstellen , der Lösungsweg ist jeweils angegeben. Ich will lediglich den angegeben Lösungsweg für die Nullstelle x=2.95 nachvollziehen, mehr nicht.