Det, Kern, Bild in abhängigkeit von a bestimmen

Question

Aufgabe:

Zu α∈ℝ betrachten wir die lineare Abbildung φ_a:ℝ³->ℝ³ mit

φ_a(x_1,x₂,x₃) := \begin{pmatrix} αx_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1} & αx_{2} & x_{3} \\ x_{1} & x_{2} & αx_{3}\end{pmatrix}

(a) Berechnen Sie die Determinante von φ_α

(b) Bestimmen Sie für jedes α∈ℝ die Dimension des Kerns und des Bildes von φ_α.

(c) Für welche α∈ℝ hat das lineare Gleichungssystem

αx₁ + x₂ + x₃ = 1

x₁ + αx₂ + x₂ = 1

x₁ + x₂ + αx₃ = 1

genau eine Lösung, mehrere Lösungen bzw. gar keine Lösung

Problem/Ansatz:

Bin mir etwas bei den Lösungen der Aufgabe - Meine Ideen sind:

(a) Mit Sarrus gelöst det(φ_α)=α³x1x2x3-3αx1x2x3+2x1x2x3

(b) Tue ich mir sehr schwer mit, da es ja Abhängig von α ist.

(c) Habe des Gleichungssystem gelöst und komme auf verschiedene Fallunterscheidungen?!

Answer 1

Die & Zeichen sind ja vermutlich + .

Dann ist die Matrix von φ_a =

a  1    1
1   a   1
1   1    a

und die hat die Determinante a^3 -3a + 2.

Falls die Determinante ungleich 0 ist, ist dim(Kern)=0

und damit die dim des Bildes gleich 3.

Determinate = 0 ist der Fall für a=-2 und für a=1.

Im Fall a=1 lässt sich die Matrix umformen zu

1     1     1
0      0     0
0      0     0

hat also 2 0-Zeilen

==>  dim(Kern)=2 und somit dim(Bild)=1 .

im Falle a=-2 gibt es

-2     1      1
0     1      -1
0     0      0

also dim(Kern)=1 und somit dim(Bild)=2 .

Also gibt es für a≠1 und a≠-2 jeweils genau eine Lösung.

Für a=1 wird es

1     1    1   | 1
0      0   0   | 0
0      0    0  | 0

für jedes s und t aus R ist also

( 1 -s-t ; s ; t )   eine Lösung, also gibt es viele.

Für a=-2

-2    1      1   1
0    1      -1    -1
0    0      0     1

Die letzte Gleichung ist also unerfülltbar

==>  es gibt keine Lösung