Berechne den Wert folgender Reihe:

Question

Aufgabe:

Berechne den Wert folgender Reihe:

$$\sum_{n=0}^{\infty \:}\:\frac{\left(-1\right)^n}{\left(2n+1\right)^3}$$

Problem/Ansatz:

Am Ende kennen wir das Ergebnis der Reihe:

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \:\frac{\left(-1\right)^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}\), aber was macht man mit dem \(\displaystyle \frac{1}{n^3}\)?

Answer 1

Wolframalpha sagt:  π^3 / 32 .

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=782bbf2bc76e6f211e3b0a958f8c02d

Ich habe aber keine Erklärung.

Comments

Kannst mal hier gucken:

https://math.stackexchange.com/questions/613152/proving-that-frac-pi332-1-sum-k-1-infty-frac2k2k1-zeta2k2

Siehe auch:

https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_constant

Kennt ihr eigentlich Google? :-))

Answer 2

Summe 1/k^2=(pi^2)/6

Summe 1/(2k)^=1/4 * Summe 1/k^2=(pi^2)/24

Summe 1/(2k+1)^2 =3/4 * Summe 1/k^2=3/4 *(pi^2)/6

Summe (-1)k / ( 2k+1)^3 =
Summe ((-1)k / ( 2k+1) ) *  1/(2k+1)^2=

(Summe ((-1)k / ( 2k+1) )) * (Summe 1/(2k+1)^2) =
pi /4 * 3/4 *(pi^2)/6= 2* (pi/4)^3

Comments

Warum sollte das drittletzte Gleichheitszeichen gelten?

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pi * pi^2 = pi^3

1/4 *3/4 *1/6 = 2 * (1/4)^3

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Das drittletzte.

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Entschuldigung, ich kann scheinbar nicht bis 3 zählen.

Es gibt einen Satz über konvergente Folgen, der besagt, dass wenn zwei Folgen an, bn zu a, b konvergieren, dann konvergiert die Folge cn = an*bn zu c =a*b.

|anbn − ab| = |anbn − anb + anb − ab|
≤ |anbn − anb| + |anb − ab|
= |an||bn − b| + |b||an − a| → 0

Dreiecksungleichung

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Dieser Satz hat mit dem was du oben gerechnet hast nichts zu tun.

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Summe ((-1)k / ( 2k+1) ) *  1/(2k+1)2=

(Summe ((-1)k / ( 2k+1) )) * (Summe 1/(2k+1)2)

natürlich strebt k gegen Unendlich

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@Spacko,

Du hast recht, dass das nicht richtig ist, was ich gemacht habe, sehe ich an

Summe 1/n^2 = pi ^2 / 6

aber Summe 1/ n^4 = pi ^4 / 90

Doch warum ist trotz falscher Rechnung das Ergebnis richtig?

Oder stimmt der Grenzwert auch nicht?

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\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{3}}} \) =
\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(4k+1)^{3}}} \) -\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(4k-1)^{3}}} \) =
(28*Zeta(3)+\( π^{3} \)/ 64 - (28*Zeta(3)-\( π^{3} \)/ 64= \( π^{3} \)/ 32