Weshalb ist x^0 = 1?

Question

Berechnung:

\( x^{3} \cdot x^{7} \cdot x^{-3} \cdot x^{-9} \cdot x^{2}=x^{3+7-3-9+2}=x^{0}=1 \)

Frage:

Weshalb wird x^0 zu 1?

Comments

Es ist so festgelegt. Irgendwas hoch 0 ergebt immer 1. Egal ob Zahlen, Variablen oder Konstanten

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@Surprise

Das erklärt nicht, wieso es sinnvoll ist, es so festzulegen.

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0^0 = 0, fantastisch.

Answer 1

Was passiert wenn du folgende Rechnungen ausrechnest. Fällt dir etwas an den Ergebnissen auf?

2^4 =

2^3 =

2^2 =

2^1 =

2^0 =

Man könnte sagen 2^0 ist die logische Fortführung dieser Aufgaben.

Du kannst auch mit den Potenzgesetzen Argumentieren

x^3 / x^3 = x^(3 - 3) = x^0

Wenn du das Ergebnis der linken Seite x^3 / x^3 kennst, dann kannst du auch das Ergebnis von x^0.

Answer 2

Aus dem Alltag:

Lege Kapital 0 Jahre an (Einzahlen auf gleich wieder abheben). Dann ergibt sich:

K*q^0 = K

--> q^0= 1 da K*1 = K

Answer 3

Wenn man zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert, werden die Exponenten subtrahiert.

Zunächst gilt das nur für  natürliche Zahlen als Exponenten und wenn die Differenz der Hochzahlen positiv ist, also z.B. 5^7/5^3=5^(7-3)=5^4.

Erweitert man die Regel auf alle ganzzahligen Exponenten, erhält man z.B.

1=5^7/5^7=5^(7-7)=5^0

Allgemein: a^0=1 für a≠0.

Natürlich muss dann noch nachgewiesen werden, dass solche Definitionen den bisher festgelegten Rechenregeln nicht widersprechen.

PS: 0^0 ist nicht definiert, weil nicht eindeutig klar ist, ob es 0 oder 1 sein soll.