Wer hat als erstes definiert, dass x^0 =1?

Question

Aufgabe:x^0 =1

Problem/Ansatz:

Wer hat als erstes definiert, dass x^0 =1 ?

Wann war das?

Warum das sinnvoll ist, ist mir klar, das will ich nicht wissen.

Comments

Ich habe erst an Al Khwarizmi gedacht, weil der sich mit Algebra beschäftigt hat, aber Schreibweisen für Potenzen wurden wohl erst später festgelegt.

:-)

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Danke, das würde doch passen, denn er hat sich doch für die Einführung des Indisch-Arabischen Ziffernsystems verdient gemacht, was ohne 10 er Potenzen nicht denkbar ist.

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Ich habe gerade gelesen, dass Vieta die Verwendung von Buchstaben für Variablen eingeführt hat und als einer der Väter der Algebra gilt. Er wäre ja vielleicht auch ein Kandidat.

:-)

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Vieta ist dafür aber sehr jung, das glaube ich eher nicht.

Answer 1

Für x^{0} benötigt man die 0 sowie die Exponentialschreibweise:

1. Geschichte der Null

Die Zahl 0 wurde ca. 628 n. Chr. von Brahmagupta als eigenständige Zahl verwendet und zum Rechnen eingesetzt.

2. Geschichte der Potenzen (Exponenten-Schreibweise)

Nicolas Chuquet entwickelte im 15. Jahrhundert eine Form der Exponential-Notation, die im 16. Jahrhundert von Henricus Grammateus und Michael Stifel genutzt wurde. Das Wort „Exponent“ wurde 1544 von Michael Stifel geprägt.

In dem verlinkten Wikipedia-Artikel steht (jedoch ohne Quellenangabe!), dass:

Nicolas Chuquet may have been the first mathematician to recognize zero and negative numbers as exponents.

René Descartes (1596 - 1650) führte die moderne Exponential-Schreibweise im Buch „La Géométrie“ (1637) ein.

Isaac Newton (1642 - 1726) nutzte Exponenten nur für Potenzen größer als 2.

3. Definition von a^{0}

Leonhard Euler führt in seinem Buch „Vollständige Anleitung zur niedern und höheren Algebra“ die Schreibweise der Potenzen aus. Im Kapitel § 175 weist Euler darauf hin, dass a^{0} = 1 ist:

Nebenbei: Interessant ist, dass Euler hier 0^{0} = 1 definiert.

Comments

Vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort. Besonders die Tatsache, dass Euler

\( 0^{0} \)=1

definiert hat finde ich beachtlich, doch wie passt es dazu, dass bei Wikipedia gerade dies ausgeschlossen wird?

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Das ist hier im Detail erklärt: https://www.matheretter.de/wiki/null-hoch-null

Answer 2

x⁰=1 ist keine Definition. Wenn dir klar ist, warum x⁰=1 ist, kannst du es beweisen. Was man beweisen kann, ist in der Mathemtik ein Satz. Wer diesen Satz als erster gefunden hat, lässt sich nicht mehr nachvollziehen. Entsprechendes gilt sogar für den Satz des Pythagoras, den ja auch nicht Pythagoras als erster gefunden hat.

Comments

Unser Zahlensystem, wie wir es kennen, gab es nicht immer.

Es gibt einige, die mit den Potenzgesetzen,

X^n * X ^m = X (n+m)

"beweisen",

dass x^0=1

einige sagen sogar, dass man um X^n zu erreichen X n-mal miteinander multiplizieren muss, doch wer nachzählt, stellt fest, dass wir X nur ( n-1) mal miteinander multiplizieren.

Das ist natürlich großer Blödsinn.

Andere sagen, dass X^1 = 1 * X

,dass X ^ 2= 1* X* X

usw

Dann ist natürlich

1 = X^n / X^n = X^(n-n) = X^0

Ja, wenn ich das festlege, dann ist es auch so.

Wir drehen uns also im Kreis.

Nur mit der Annahme, dass X^ 0 = 1 ist, können wir unsere Potenzgesete aufstellen.

Mit den Potenzgesetzen sind wir in der Lage, zu zeigen, dass X^0 = 1

Das ist so, wie mit der Henne und dem Ei.

Trotzdem muss es eine oder einen oder eine Gruppe gegeben haben, die festgelegt haben, dass X^0 =1 ist. ( Oder sollten Sie sich doch zuerst die Potenzgesetze ausgedacht haben?)

Unsere Vorfahren hatten nicht immer so gedacht wie wie wir heute.

Die Vorstellung von Definition, Satz und Beweis, gab es auch nicht immer.

Wie querr die Menschen früher gedacht haben, sieht man an der Tartaglia um 1500 in Venedig gestellten Aufgabe " Ein Kubus plus dem Vielfachen seiner Kanten ist eine Zahl."

Schade, ich hatte gehofft etwas mehr Informationen zu bekommen.

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Was festgelegt werden musste, war die Potenzschreibweise als Kurzschreibweise für die mehrfache Multplikation. Dann folgt vieles zwangsläufig (vor allem, wenn man weitere Sätze und Definitionen hinzuzieht). Ganz sicher musste nie festgelegt werden, dass x⁰=1 gilt. Natürlich gab es irgendwann in der Geschichte der Mathematik jemanden, dem der Satz x⁰=1 als erstem aufgefallen ist. Aber in den Aufzeichnungen über die Geschichte der Mathematik wurde dazu nichts vermerkt. Wohl auch, weil x⁰=1 zu marginal ist.

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Wenn sich damals die durchgesetzt hätten, die sagen, dass bei der Potenzschreibweise n angibt, wie oft wir x miteinander multiplizieren, dann hätten wir auch Regeln für das Rechnen mit Potenzen, die identisch sind mit den uns bekannten

X^m * X^n = X^(m+n)

, doch dann wäre

X^4=X*X*X*X*X

und X^0 = X

Die hätten dann festgestellt, dass X^(-1) = 1

X^(-2) = 1/X

Aus heutiger Sicht sähe das alles äußerst kompliziert aus. Darum ist es schon gut, dass

X^0=1

und X^1 =X

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Es haben sich die durchgesetzt, die sagen, dass bei der Potenzschreibweise der Exponent n angibt, wie oft x als Faktor in einer Mehrfachmultiplikation auftritt.

Das sind (in deiner Vorstellung) nicht die, die sagen, dass bei der Potenzschreibweise n angibt, wie oft wir x miteinander multiplizieren.

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Ja, genau, es gilt

X^0 =1

und X^n = X * X^(n-1)

Also für z.B. X^3 = X* X*X

Das finde ich auch gut und wollte auch nie etwas anderes sagen.

Beim Beispie X^3 schreiben wir dreimal das X hin, doch wir multiplizieren nur zweimal, wie man leicht nachzählen kann.

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Das ist ja eine schier unglaubliche Erkenntnis!!!

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Das habe ich von Anfang an gesagt, darum geht es nicht bei meiner Frage, ich will wissen, wann das erste mal dieses festgelegt wurde.

X^0=1

Und wem das zugeschrieben wird.

Es ist eine geschichtliche Frage.

Answer 3

Laut Wikipedia war es eine Festlegung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Nat%C3%BCrliche_Exponenten

Übrigens gibt es für 0^0 keine Festlegung sondern eben nur für a^0 mit a ≠ 0.