Wahrscheinlichkeit zum richtigen Ergebnis zu kommen bei probalistischem Algorithmus

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein probabilistischer Entscheidungsalgorithmus (Ausgabe: JA / NEIN) für ein
bestimmtes Problem P. Sie wissen, dass der Algorithmus mit der Wahrscheinlichkeit 1/4
ein falsches Ergebnis liefert (bei jeder Eingabe!). Sie führen den Algorithmus für eine feste Eingabe
zweimal unabhängig aus. Gibt der Algorithmus zweimal JA oder zweimal NEIN aus, so
geben Sie diese Antwort aus. Andernfalls geben Sie zufällig JA oder NEIN mit jeweils einer
Wahrscheinlichkeit von 1/2 aus.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie dadurch zur richtigen Entscheidung kommen?

Problem/Ansatz:

Ich möchte eigentlich nur wissen, ob meine Gedanken (und somit mein Ergebnis) richtig sind:

Ich habe mir durch die Aufgabenstellung die Formel für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis richtig ist hergeleitet: \( \sum\limits_{i=0}^{2}{\binom{2}{i}} \cdot p^{i} \cdot (1-p)^{2-i}\).

Hierbei ist p= 1/2 für i=0,1     und p=3/4 für i=2

Comments

Das ergibt natürlich keinen Sinn wie ich die Formel hingeschrieben habe. Meine Idee wäre gewesen sie einmal für i=0 bis 1 und von i=2 bis 2 auszurechnen mit p wie am Ende des Posts beschrieben einzusetzen und dann eben beide Ergebnisse miteinander zu multiplizieren.

Answer 1

ob meine Gedanken (und somit mein Ergebnis) richtig sind

Dein Ergebnis ist \(\frac{17}{4}\).

Algorithmus zwei mal erfolgreich: \(\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\)

Algorithmus erfolgreich, dann nicht erfolgreich und richtig geraten: \(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\)

Algorithmus nicht erfolgreich, dann erfolgreich und richtig geraten: \(\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\)

Addiere diese drei Wahscheinlichkeiten

Comments

Ich verstehe es immer noch nicht.

Es gibt doch 4 Möglichkeiten

1 . Richtig, Richtig 3/4 * 3/4 =9/ 16

2. Falsch, Falsch 1/4 *1/4 = 1/16

3. Richtig,  Falsch 3/4 *1/4 = 3/16

4. Falsch, Richtig 1/4* 3/4 = 3/16

 Summer aller Wahrscheinlichkeiten

= 16/16

Nun nehmen wir eine große Zahl an Befragungen an, z.B. 1600

Bei Richtig Richtig ändert sich nichts.

900 Richtig Richtig (9/16)

450 A, 450 B

Bei Falsch Falsch ändert sich auch nichts

100 Falsch Falsch

50 A, 50 B

Die übrigen 600 werden neu bewertet

Die Hälfte davon wird dem Ereignis A zugeordnet 300 (3/16)

Und die anderen dem Ereignis B

300 (3/16)

Wie zu erwarten war, haben wir weiterhin 1600 Fragen.

An den Wahrscheinlichkeiten hat sich also nichts geändert, doch wir verlieren eine wichtige Information über die Güte der Befragung, denn bei den gleich angekreuzten Antworten konnten wir annehmen, dass 9 von 10

also 90% Richtig sind, das können wir nicht mehr.

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1 . Richtig, Richtig 3/4 * 3/4 =9/ 16
2. Falsch, Falsch 1/4 *1/4 = 1/16
3. Richtig, Falsch 3/4 *1/4 = 3/16
4. Falsch, Richtig 1/4* 3/4 = 3/16

Die Punkte 3. und 4. teile ich weiter auf.

3a. Richtig, Falsch, Richtig 3/4 *1/4 * 1/2 = 3/32

3b. Richtig, Falsch, Falsch 3/4 *1/4 * 1/2 = 3/32

4a. Falsch, Richtig, Richtig 1/4* 3/4 * 1/2 = 3/32

4b. Falsch, Richtig, Falsch 1/4* 3/4 * 1/2 = 3/32.

Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung ist die Summe aus 1, 3a und 4a.

450 A, 450 B

Was ist A und Was ist B?

Wenn du Variablen verwendest, die im Aufgabentext nicht vorkommen, dann musst du angeben wofür sie stehen.

Wie zu erwarten war, haben wir weiterhin 1600 Fragen.

Bei wie vielen davon wurde deiner Meinung nach die richtige Entscheidung getroffen?

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Du kannst die Punkte 3. und 4. nicht weiter aufteilen, denn für das weitere Forgehen ist nur entscheidend, dass sie unterschiedlich beurteilt worden sind.

Die Kandidaten sollten sich jeweils zwischen zwei Ereignissen (Ai und Bi ) entscheiden,

A1 und B1

A2 und B2

A3 und B3

A4 und B4

usw

Das eine Mal ist A richtig, das andere B, darum ist es wie beim Münzwurf, da ohne zusätzliche Informationen die Wahrscheinlichkeit 0,5 besteht.

Wenn sich die Kandidaten nicht einig

sind, halte ich bezogen auf das einzelne Ereignis eine zufällige Entscheidung für ein Ereignis eben zu 50 % für Möglich, wir verlieren aber weitere Möglichkeiten, wir können z.B. keine Betrachtung der Abweichungsquadrate machen um die Güte der "Messung" zu beziffern.

Wir haben 1600 Ereignisse. Ich erwarte, dass 1000 Ereignisse gleich beurteilt wurden, davon erwarte ich, dass 90% Richtig sind.

Wie beschrieben

450 A Richtig 450 B Richtig

10 % waren davon falsch, also

50 A Falsch 50 B Falsch

Dann haben wir noch 600 unterschiedlich beurtelte Ereignisse, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % Richtig beurteilt wurden.

150 A Richtig, 150 B Richtig

150 A Falsch, 150 B Falsch

Das ergibt 800 Richtig und zusammen wieder 1600 , es sind 50% Richtig , was wir auch gleich hätten sagen können, da die wichtigen Informationnen der beiden Messungen verloren gegangen sind.

Gerade die unterschiedlichen Bewertungen geben uns doch Auskunft über die Güte der Messung, erst durch sie sehen wir ob die erwartete Verteilung auch erreicht wurde.

Die Punkte 3. und 4. teile ich weiter auf.
3a. Richtig, Falsch, Richtig 3/4 *1/4 * 1/2 = 3/32
3b. Richtig, Falsch, Falsch 3/4 *1/4 * 1/2 = 3/32
4a. Falsch, Richtig, Richtig 1/4* 3/4 * 1/2 = 3/32
4b. Falsch, Richtig, Falsch 1/4* 3/4 * 1/2 = 3/32.

Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung ist die Summe aus 1, 3a und 4a.

Dieser Aussage kann ich nicht zustimmen, denn wir haben jeweils zwei Ereignisse (1;0) und Anfangs wurde gesagt, dass Aussagen nur zu 75% stimmen. Wenn also etwas richtig ist, dann ist es zu 75% Richtig, wenn etwas falsch ist, dann ist es zu 25% Richtig.

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Mach das ganze nicht zu kompliziert Hogar. Oswald hat das meiner Meinung nach sehr einfach und klar erläutert.

Nehmen wir einfach mal an die Richtige Antwort auf ein Problem sei JA.

Dann würde der Algorithmus in 9/16 aller Fälle mit JA, JA antworten. Wir geben damit auch mit der Wahrscheinlichkeit 1 die richtige Antwort JA aus

In 6/16 aller Fälle antwortet der Algorithmus mit JA, NEIN oder mit NEIN, JA. Wir raten und geben zu 1/2 die richtige Antwort ab.

In 1/16 aller Fälle antwortet der Algorithmus mit NEIN, NEIN. Wir Geben daher hier zu 0 mit NEIN die richtige Antwort an.

Die Pfadregeln ergeben

9/16 * 1 + 6/16 * 1/2 + 1/16 * 0 = 3/4

Wir geben also zu 3/4 zur richtigen Entscheidung.

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In Ordnung, doch um 1/2 zu bekommen, kann ich auch das Mittel von 0,25 und 0,75 wählen, da brauche ich nicht zu Raten.

1* 9/16 + 0,5 *6/16 = 12/16 = 3/4

3/4 richtig führt ja auch zur Vorgabe 1/4 falsch.

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Die Kandidaten sollten sich jeweils zwischen zwei Ereignissen (Ai und Bi ) entscheiden,

Unerheblich. Relevant ist lediglich, ob sie sich für das richtige oder für das falsche Ereignis entscheiden. Und sie entscheiden sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% für das richtige Ereignis.

dass Aussagen nur zu 75% stimmen. Wenn also etwas richtig ist, dann ist es zu 75% Richtig

Eher: "dass Aussagen nur zu 75% stimmen. Wenn also etwas eine Aussage ist, dann ist es zu 75% Richtig."