Differentialgleichungen mit Wurzeln lösen

Question

Aufgabe:

Um den Feinstaubwert zu senken, werden in einigen Städten Tankfahrzeuge eingesetzt, die nachts diee Straßen mit Wasser besprühen. Ein Tankfahrzeug mit einer Anfangsfüllung von \( 9 \mathrm{m}^{3} \) Wasser versprüht während der Zeit \( t \in[0, T](t=0 \) bei Abfahrt, \( T>0 \) Zeit nach der die Fullmenge des Tankwagens aufgebraucht ist) die Wassermenge \( V(t), \) gemessen in \( m^{3} . \) Die während der Zeit \( t \in[0, T] \) versprühte Wassermenge \( V(t) \) genügt der Differentialgleichung
$$ V^{\prime}(t)=6 \cdot \sqrt{9-V(t)} $$
Nach welcher Zeit \( T>0 \) ist der Wassertank des Tankfahrzeugs leer?

Problem/Ansatz:

ich weiß dass ich zuerst die Differentialgleichung lösen muss und der Rest der Aufgabe dann vermutlich nur einsetzen ist. Bloß komme ich auch mit der Konstantenvariation auf kein Ergebnis weil ich nicht weiß wie ich die Wurzel behandeln soll. Es wäre schön wenn mir jemand den Lösungsweg zeigen könnte wie ich meine Differentialgleichung löse.

Answer 1

Hallo,

V '(t)= 6 √ (9-V(t))

dV(t) / dt= 6 √ (9-V(t)) | *dt

dV(t) = 6 √ (9-V(t)) dt |:  √ (9-V(t))

dV(t) /√ (9-V(t)) = 6 dt

Substituiere z= 9 -V(t)

dz/dV= -1

dV= -dz

- 2 √(9-V(t)) = 6t +C

V(t)= 9 -( 3t -c/2)^2

Comments

Erst einmal danke für die Antwort, was ist passiert nachdem ich 9-V(t) für z substituiert habe. Ich kann die Umformung auf dz/dV=-1 nicht ganz nachvollziehen.

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Ich habe V=V(t) gesetzt :

Hier die Berechnung des Integrales:

9  → die Ableitung der Konstante, ist 0

- V ( Variable) abgeleitet ist - 1