Mehrere allgemeine Fragen zu gebrochen-rationale Funktionen

Question

1 Frage) Wenn ich eine Funktion auf Polstellen, hebbare Lücken und Asymptoten untersuchen soll, reicht da das Einsetzen mit der Nullstelle in Zähler- und Nennerfunktion, oder muss ich auch die Grenzwertberechnung und/oder Wertetabelle heranziehen?

2.Frage) Im Buch steht, dass z.B. wenn der Nennergrad höher als der Zählergrad ist, dass die x-Achse die Asymptote von f ist, sowie andere Regeln dazu. Ist das wirklich bei JEDER gebrochen-raitonalen Funktion so verallgemeinernd zu sagen?

3.Frage) Ich dachte, eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion wo im Zähler und Nenner eine ganzrationale Funktion steckt. Aber unser Lehrer hatte mal eine Funktion rangeschrieben, wo der Zähler nur eine 1 war, und meinte das sei gebrochen-rational?! Zudem hat der Trick mit Differenz der Gräder der Nenner- und Zählerfunktion zur Bestimmung des Funktionstyps nicht funktioniert. Gilt die auch nicht immer?

Answer 1

Frage 1) eigentlich immer, nur bei

" 0 / 0"  müssen etwas mehr Gedanken gemacht werden,

doch da hilft auch Frage 2

.

Frage 2) soweit ich weiß, funktioniert es.

Frage 3) setze für 1= x^0

oder für c = c *x^0, dann funktioniert wieder der Trick.

Comments

f(x) = \( \frac{x³-x²-26x-19}{x-5} \)

Der Nennergrad ist kleiner als der Zählergrad. Das bedeutet -> unecht gebrochen bzw. als ganzrationale Funktion darstellbar. Die Lösung unserer Lehrers lautet aber echte gebrochen-rationale Funktion, da die Polynomdivision einen Restterm bzw. -49 liefert.

Also funktioniert der Trick doch nicht immer?

Answer 2

Hallo

1. es gibt Polynoms vom Grad 0 bis beliebig großes n. Grad 0 ist Zahl*x^0=Zahl also kann mim Zähler auch eine 1 stehen. zur Bestimmung des Funktionstyps hat dann der Zähler Grad 0.

2. wenn der Nennergrad größer als der Zählergrad ist, wächst der Nenner für große x viel schneller als der Zähler, also wird für große positive und negative x die Funktion immer mehr 0, d.h. dann ist x- Achse Assymptote.

3, Pole= Nullstellen des Nenners  und Nullstellen des Zählers  und Asymptoten dafür braucht man keine Wertetabelle. Nur bei den Polstellen muss man entscheiden, ob sie mit oder ohne Vorzeichenwechsel sind.

Alles klar?

Gruß lul