Wie sieht man das ein?

Question

Aufgabe: ein Teilbarkeitskriterium

Problem/Ansatz: ist die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar, so ist auch die Zahl selber durch 2 teilbar. Wie sieht man das ein ?

Answer 1

Aloha :)

Du meinst bestimmt, dass eine Zahl durch \(3\) teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist. Ich mache das mal an eine 4-stelligen Zahl klar, deren Ziffern ich mit \(abcd\) beschreibe. Die Ziffer \(a\) wird mit \(1000\) multipliziert, die Ziffer \(b\) mit \(100\), die Ziffer \(c\) mit \(10\) und die Ziffer \(d\) mit \(1\). Das heißt:$$abcd=1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d$$Die Ziffernfolge \(3321\) wird also z.B. interpretiert als:$$3321=1000\cdot3+100\cdot3+10\cdot2+1\cdot1$$Jetzt betrachte folgende Umformung:$$abcd=(999+1)\cdot a+(99+1)\cdot b+(9+1)\cdot c+1\cdot d$$$$\phantom{abcd}=999\cdot a+a+99\cdot b+b+9\cdot c+c+d$$$$\phantom{abcd}=(999\cdot a+99\cdot b+9\cdot c)+(a+b+c+d)$$$$\phantom{abcd}=\underbrace{9\cdot(111\cdot a+11\cdot b+c)}_{\text{durch \(3\) teilbar}}+(a+b+c+d)$$Wegen des Faktors \(9\) ist der erste Term ist sicher durch \(3\) teilbar. Jetzt erkennst du, dass \((a+b+c+d)\) durch \(3\) teilbar sein muss, wenn \(abcd\) durch \(3\) teilbar ist. Umgekehrt ist \(abcd\) auch durch \(3\) teilbar, wenn \((a+b+c+d)\) durch \(3\) teilbar ist.

Diese Beweis-Idee kannst du auf beliebig viele Ziffern anwenden.

Answer 2

Wie man das einsieht, weiß ich nicht; die Aussage ist falsch!

Answer 3

Vermutlich war

Problem/Ansatz: ist die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar, so ist auch die Zahl selber durch 3 teilbar. Wie sieht man das ein ?

gemeint !

10/3 = (9+1)/3 =3 Rest 1

100/3 = (99+1)/3 =33 Rest 1

100 000/3 =( 99 999 +1)= 33 333 Rest 1

Wichtig sind dabei nicht die vielen Neunen oder Dreien, sondern, dass immer der Rest 1 bleibt, wenn wir eine Zehnerpotenz durch 3 teilen.

Wenn wir nun 5* 100 haben, können wir das in fünf Hunderter aufteilen, die jeweils den Rest 1 haben, zusammen also Rest 5

800 hat den Rest 8

50, den Rest 5,

2 den Rest 2

Um zu prüfen, ob wir

800 +50 + 2 = 852

durch 3 teilen können müssen wir nur prüfen, ob wir die Summe der Reste durch 3 teilen können.

Rest 8 + Rest 5 + Rest 2 = Rest 15 = Rest 0, da 15 /3 = 5 Rest 0

Da die Reste identisch mit den jeweiligen Ziffern sind,

Brauchen wir nur die Quersumme (QS) der Ziffern betrachten.

QS ( 146762) = 1 + 4 + 6 +7+ 6 +2 =24

QS ( 24)= 2+4 =6

6/3 = 2 Rest 0, wir können 6 durch 3 teilen

Dann können wir auch 24 durch 3 teilen

Also auch 146762 ist durch 3 teilbar.

Man schreibt auch a*10^k ≡ a mod 3,

Was nichts anderes bedeutet, als dass der Rest a übrig bleibt, wenn wir a*10^k durch 3 teilen.