$$\text{Für } x\in (-1,0) \text{ ist die Funktion offensichtlich differenzierbar,}\\\text{da die Funktionswerte konstant sind.}$$
$$\text{Für } x = 0 \text{ folgt } \Delta_h f(0)=\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{f(h)}{h} \begin{cases}\xrightarrow{h\nearrow 0} 0\\ =\frac{h^a\cdot \ln h}{h}=h^{a-1}\cdot \ln h \xrightarrow{h\searrow 0} 0, \ a\in (1,\infty)\end{cases}$$
$$\text{Für } x\in (0,1) \text{ ist die Funktion offensichtlich differenzierbar, da } x^a \text{ und } \ln x \text{ differenzierbar auf } x\in (0,1) \text{ sind.}$$
Nachträglicher Zusatz:
$$\text{Es gilt nach der Regel von L'Hospital für } a\in (1,\infty): \\ \lim_{h\searrow 0} h^{a-1}\cdot \ln h = -\lim_{h\searrow 0} \frac{-\ln h}{\frac{1}{h^{a-1}}} \overset{L.H.}{=} -\lim_{h\searrow 0} \frac{-\frac{1}{h}}{\frac{-(a-1)}{h^a}} = -\lim_{h\searrow 0} \frac{h^{a-1}}{(a-1)}=0 \text{.}$$
$$\text{Für } a=1 \text{ folgt } \ln h \xrightarrow{h\searrow 0} -\infty \text{.}$$
$$\text{Für } a\in (-\infty,1) \text{ kann mit } h^{a-1}\xrightarrow{h\searrow 0} \infty \text{ und mit } \ln h \xrightarrow{h\searrow 0} -\infty \text{ argumentiert werden.}$$
