Aloha :)
Du denkst, glaube ich, einfach zu kompliziert. Der im Beispiel gegebene Ortsvektor \(\vec r\) hängt von 2 Parametern \(x,y\) ab:$$\vec r(x,y)=\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}$$Daraus kannst du das Flächenelement berechnen:$$df=\left\|\partial_x\vec r\times\partial_y\vec r\right\|\,dx\,dy=\left\|\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\|\,dx\,dy=\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\|\,dx\,dy=dx\,dy$$Offensichtlich ist \(df=dx\,dy=dA\).
