Was bedeutet die direkte Summe für URe (Summenraum)?

Question

Aufgabe:

Was bedeutet die direkte Summe für URe (Summenraum)? Beispielaufgabe?

Problem/Ansatz:

Sie liegt ja vor, wenn U1∩U2 ={0} gilt, ich weiß zwar, wie man den Schnitt berechnet, aber bin mir nicht sicher, was am Schluss rauskommen soll. Einfach der Nullvektor, also, wenn man z.B. 1 Base für U und 1 Base für V gegeben hat, dass dann beim LGS für alle Koeffizienten sagen wir α,β,γ,δ =0 rauskommen soll, damit die Gleichung erfüllt ist?

Ich wäre unglaublich dankbar, wenn jemand vielleicht ein Beispiel angeben könnte :) Wäre super hilfreich

Vielen Dank für eure Zeit im Voraus!

Answer 1

1 Base für U und 1 Base für V

Vereinige die Basen zu einem Erzeugendensystem. Ist dieses Erzeugendensystem linear unabhängig, dann

        dim(U ∩ V) = 0

laut Dimensionsformel

        dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U ∩ V).

Comments

Vielen lieben Dank für deine Antwort Oswald! Ich habe es nun verstanden! Super erklärt!

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Nur dass ich das richtig verstanden habe, kann ich direkt von der dim(U∩V)={0} darauf schließen, dass U∩V = {0} ist?

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Du darfst von

        \(\dim(U\cap V) = 0\)

direkt darauf schließen, dass

        \(U\cap V = \left\{\vec{0}\right\}\)

ist, weil \(\left\{\vec{0}\right\}\) der einzige Vektorraum mit Dimension 0 ist.