Der Schlüssel zum Verständnis ist der Term \(|r+r'|-|r-r'|\). Ich unterstelle, dass wahrscheinlich \(r \gt 0\) und weiter \(r'\) sicher \(\gt 0\) ist. Somit kann man die ersten Betragsstriche weglassen und für die zweiten muss unterschieden werden, wann \(r' \gt r\) wird:
$$|r+r'|-|r-r'| = \begin{cases} \begin{aligned}&2r' \quad &\text{für} &r' \le r \\ &2r & \text{für} & r' \ge r \end{aligned} \end{cases}$$
Somit wird das Integral in zwei Integrale aufgeteilt. Einmal für den Bereich \([0;\,r]\) und einmal für den Bereich \([r;\, \infty) \).
Setze es einfach ein, dann siehst Du es. Und aus der \(2\) am Anfang wird eine \(2 \cdot 2 = 4\) wegen \(2r'\) bzw. \(2r\).
