Verkettung stetiger Funktionen

Question

Seien ƒ: F → ℝ und g : G → ℝ Funktionen mit ƒ(F) ⊆ G. Weiter sei ƒ stetig in x₀ ∈ F und g sei stetig in ƒ(x₀) ∈ G. Zeigen Sie, dass dann g ° ƒ : F → ℝ in x₀ stetig ist.

Comments

Stichwort ist das Folgenkriterium. Du musst es erst auf f und dann auf g anwenden, woraus sich dann ergibt, dass es auch für die Verkettung beider gelten muss.

Answer 1

Folgekriterium: Eine Funktion f ist genau dann stetig in x₀, wenn für jede Folge (x_k) im Orginalraum mit x_k → x₀  gilt: f(x_k) → f(x₀) im Bildraum.

Also:

Gegeben sei eine beliebige Folge (x_k) in F mit x_k → x₀ . Da f in x₀ stetig ist, gilt nach dem Folgenkriterium f(x_k) → f(x₀).

Eine weitere Folge (y_k) sei definiert in G für die gilt: y_k = f (x_k). Da g in f(x₀) stetig ist, muss wiederum nach Folgekriterium g(f(x_k)) → g(f(x₀)) gelten.

Damit ergibt sich für jede Folge (x_k) in F mit x_k → x₀, dass  g ° ƒ (x_k) → g ° ƒ (x₀) gilt.

Damit ergibt sich mit dem Folgekriterium, dass g ° ƒ in x₀ stetig ist.