Konsequenzen der Stetigkeit

Question

Seien ƒ, g : ℝ → ℝ stetig und ƒ = g auf ℚ. Zeigen Sie: ƒ = g gilt auf ganz ℝ.

Answer 1

Sei x∈R gegeben.

Da in jeder beliebigen Umgebung einer rationalen Zahl eine irrationale liegt (Dichtheit von ℚ in ℝ), gibt es eine Folge (x_k) rationaler Zahlen mit  x_k→x. Mit der gegebenenen Voraussetzung folgt  f(x_k) = g(x_k) ∀n∈ℕ. Aus der der ebenfalls in der Voraussetzung gegebenenen Stetigkeit von f und g folgt  f(x_k) →f(x) und g(x_k) →g(x) (Folgenkriterium) und damit

f(x) = g(x) ∀x∈ℝ.