Hi, ich frage mich, wie man auf diese Integraldarstellung des Erwartungswertes kommt. Ich meine dabei nur das Markierte (aber habe für den Zusammehang mal den ganzen Beweis eingefügt). Ich verstehe vor allem nicht, wie man auf die Integralgrenzen kommt und ob die Gleichverteilung hier eine Rolle spielt.
Text erkannt:
$$ \begin{array}{l} \text { Beweis. Mit }(7.13) \text { gilt für } u \in[0,1] \text { und } k \in \mathbb{N}_{0} \\ \left.\qquad P\left(T_{x}-\left\lfloor T_{x}\right\rfloor \leq u \| T_{x}\right\rfloor=k\right)=\frac{P\left(k \leq T_{x} \leq k+u\right)}{P\left(k \leq T_{x}<k+1\right)}=\frac{P\left(T_{x+k} \leq u\right)}{P\left(T_{x+k} \leq 1\right)}=\frac{u q_{x+k}}{q_{x+k}}=\frac{u q_{x+k}}{q_{x+k}}=u \end{array} $$
Dies hängt nicht von \( k \) ab und somit ist \( T_{x}-\left\lfloor T_{x}\right\rfloor \) unabhängig von \( \left\lfloor T_{x}\right\rfloor \) und gleichverteilt auf \( [0,1] . \) Wegen \( v=\frac{1}{1+i} \) und \( r=\log (1+i) \) folgt dann mit \( (8.2), \) der Unabhängigkeit und (8.1)
$$ \begin{aligned} \bar{A}_{x} &=\mathbb{E}\left[v^{T_{x}}\right]=\mathbb{E}\left[v^{T_{x}-\left\lfloor T_{x}\right\rfloor-1} v^{\left[T_{x}\right\rfloor+1}\right]=\mathbb{E}\left[v^{T_{x}-\left\lfloor T_{x}\right]-1}\right] \mathbb{E}\left[v^{\left\lfloor T_{x}\right\rfloor+1}\right]=\int \limits_{0}^{1} v^{t-1} \mathrm{d} t A_{x} \\ &=\int \limits_{0}^{1} \frac{e^{t \log (v)}}{v} \mathrm{d} t A_{x}=\left[\frac{e^{t \log (v)}}{v \log (v)}\right]_{t=0}^{1} A_{x}=\frac{v-1}{v \log (v)} A_{x}=\frac{1}{-r}\left(1-\frac{1}{v}\right) A_{x}=\frac{i}{r} A_{x} \end{aligned} $$
Es wäre super nett, wenn mir jemand helfen könnte.
VG
