Abweichung des Erwartungswerts

Question

Aufgabe:

Die Masse der Bauteile wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 400 g und der

Standardabweichung σ = 10 g angenommen.

Problem/Ansatz:

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Masse eines zufällig ausgewählten Bauteils
um mehr als 12 g vom Erwartungswert abweicht.

Answer 1

Aloha :)

Die Masse \(M\) der Bauteile sei normalverteilt mit$$\mu=400\,\mathrm g\quad;\quad\sigma=10\,\mathrm g$$

Wie berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass die Masse mehr als \(12\,\mathrm g\) von \(\mu\) abweicht:

$$\phantom{=}P(|M-\mu|>12)$$$$=P(M<\mu-12)+P(M>\mu+12)$$$$=P(M<\mu-12)+1-P(M<\mu+12)$$Wir nromalisieren die Werte:$$=\Phi\left(\frac{(\mu-12)-\mu}{\sigma}\right)+1-\Phi\left(\frac{(\mu+12)-\mu}{\sigma}\right)$$$$=\Phi(-1,2)+1-\Phi(1,2)$$Wir nutzen die Symmetrie der Gaußglocke \(\Phi(z)+\Phi(-z)=1\) aus:$$=\Phi(-1,2)+(\,\Phi(1,2)+\Phi(-1,2)\,)-\Phi(1,2)$$$$=2\Phi(-1,2)$$$$=0,230139\approx23,01\%$$