Welche Dimension hat Ker(A)

Question

Aufgabe

(4 Punkte). Gegeben Sei die folgende Matrix:
A =


1 1 1
0 1 0
1 3 0
0 2 0

.
Geben Sie eine Basis von Bild(A) an. Welche Dimension hat Ker(A)? Ist A als Abbildung von R
3
nach R
4
injektiv?
Aufgabe 4 (4 Punkte). Welche der folgenden Abbildungen ist ein Isomorphismus? Begründen Sie
Ihre Antwort.
(a) h : R
2 → R
2 gegeben durch h(x, y) := (x + 1, y + 1),
(b) f : R
2 → P1(R) gegeben durch f(a, b)(x) := a − b + 4bx.
(c) g : P2(R) → R gegeben durch g(p) := p0 − p1 wobei p(x) := p0 + p1x + p2x
2 ∈ P2(R)

Problem/Ansatz:

KOMME BEI DENEN ZWEI NICHT WEITER HILFFFEEEEE

Answer 1

Die Spalten von A sind offenbar lin. unabhängig, bilden also

eine Basis von Bild(A).

==>   dim(Kern(A)) = dim(R^4) - dim(Bild(A)) = 4 - 3 = 1

also nicht injektiv. (Dazu müsste dim(Kern(A))=0 gelten.)

4.) h ist nicht mal ein Homomorphismus, da z.B.

h( 0,1) = (1,2) aber h(0,2)=(1,3) .

und es ist 2*(0,1)=(0,2) aber (1,3)=h(2*(0,1))≠2*h(0,1)=(2,4).

f ist einer. Zeige Linearität und berechne den Kern:

(a,b) ∈ Kern <=> a-b + 4bx = 0-Polynom

           <=>  a-b=0 und 4b=0

           <=>  a=b  und b=0

            <=>  a=0   und b=0

Also Kern = {(0,0)}. ==>  f injektiv.

injektiver Homomorphismus zwischen gleichdimensionalen

endlich erzeugten Vektorräumen ist ein Isomorphismus.

g ist zwar ein Hom. Aber es ist z.B.

g(1+x+x^2) = g(1+x+2x^2) , also nicht injektiv.

==>  kein Iso.

Comments

muss nicht die Dim(ker(A)) = 0 sein bei dem ersten teil der aufgabe ??

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Nein, das Bild wird von den Spalten von A erzeugt,

also dim=3.

Und R^4 hat dim=4, bleibt 1 für den Kern.

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Wieso rechnest du bei 4c mit g(p) und nicjt p(x)

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Weil da steht:

(c) g : P2(R) → R

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Wie sind sie auf 1+x+x^2 gekommen und wie auf 1+x+2*x^2

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Hab 2 gesucht, die das gleiche Bild haben.